Question

在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=

3

，側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60°，則該三棱錐外接球的體積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：計(jì)算題,空間角

分析：過點(diǎn)P作PH⊥平面ABC于H，可得∠PAH是直線PA與底面ABC所成的角，得∠PAH=60°．由PA=PB=PC，得外接球心O必定在PH上，連接OA，可得△POA是底角等于30°的等腰三角形，從而得到外接球的半徑R=OA=1，再用球的體積公式可得該三棱錐外接球的體積．

解答： 解：過點(diǎn)P作PH⊥平面ABC于H，
則∵AH是PA在平面ABC內(nèi)的射影，
∴∠PAH是直線PA與底面ABC所成的角，得∠PAH=60°，
∴Rt△PAH中，AH=PAcos60°=

3

2

，PH=PAsin60°=

3

2

，
設(shè)三棱錐外接球的球心為O，∵PA=PB=PC，
∴P在平面ABC內(nèi)的射影H是△ABC的外心，
由此可得，外接球心O必定在PH上，連接OA、OB、OC
∵△POA中，OP=OA，
∴∠OAP=∠OPA=30°，可得PA=

3

OA=

3

∴三棱錐外接球的半徑R=OA=1．
因此該三棱錐外接球的體積為V=

4

3

πR³=

4

3

π，
故答案為：

4

3

π．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相等，在已知一條側(cè)棱與底面所成角的情況下求外接球的體積，著重考查了直線與平面所成角的定義、球內(nèi)接多面體和球體積的求法等知識(shí)，屬于中檔題．