Question

數(shù)列{a_n}的前n項和記作S_n，滿足 S_n=2a_n+3n-12（n∈N^*）
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n-3}為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記b_n=na_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出a_n-3=2（a_n-1-3），a₁-3=6，由此能證明{a_n-3}是首項為6，公比為2的等比數(shù)列，并能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由b_n=na_n=3n（2ⁿ+1），利用錯位相減法能求出 數(shù)列{bn}的前n項和T_n．

解答： （Ⅰ）證明：把n=1代入S_n=2a_n+3n-12，
得a₁=2a₁+3-12，解得a₁=9，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n+3n-12）-[2a_n-1+3（n-1）-12]=2a_n-2a_n-1+3 
∴a_n-3=2a_n-1-6=2（a_n-1-3），
∵a₁-3=9-3=6，
∴{a_n-3}是首項為6，公比為2的等比數(shù)列．
∴a_n-3=6•2^n-1，
∴a_n=6•2^n-1+3=3（2ⁿ+1）．
（Ⅱ）解：∵b_n=na_n=3n（2ⁿ+1）
∴T_n=3（1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）+

3n(n+1)

2

，①
設(shè)A=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2A=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺²，
兩式相減，得：A=n×2ⁿ⁺¹-（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=n×2ⁿ⁺¹-

2(1-2n)

1-2

=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，代入①式得
T_n=3[（n-1）•2ⁿ⁺¹+2）+

3n(n+1)

2

=3（n-1）•2ⁿ⁺¹+

3n(n+1)

2

+6．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，注意錯位相減求和法的合理運(yùn)用．