函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx,x∈[0,
π
4
]
的最大值是
1
2
+
2
1
2
+
2
分析:利用sinx與cosx的平方關(guān)系,令sinx+cosx=t,通過換元,將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),求出對(duì)稱軸及自變量t的范圍,利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出最值.
解答:解:令t=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
)
,
∵x∈[0,
π
4
],∴x+
π
4
∈[0,
π
2
],
0≤t≤
2
,
∴sinxcosx=
t2-1
2
,
∴y=
1
2
t2+t-
1
2
=
1
2
(t+1)2-1
0≤t≤
2
),
對(duì)稱軸t=-1,當(dāng)0≤t≤
2
時(shí),二次函數(shù)為增函數(shù),
∴當(dāng)t=
2
時(shí),y有最大值
1
2
+
2

故答案為:
1
2
+
2
點(diǎn)評(píng):本題考查了同角三角函數(shù)間基本關(guān)系,正弦函數(shù)的定義域及值域,以及二次函數(shù)的性質(zhì),其中熟練掌握三角函數(shù)中平方關(guān)系sinx+cosx與2sinxcosx兩者的相互轉(zhuǎn)化、以及二次函數(shù)的最值的求法是解本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)y=sinxcosx+
3
cos2x-
3
的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是( 。
A、(
3
,-
3
2
)
B、(
6
,-
3
2
)
C、(-
3
3
2
)
D、(
π
3
,-
3
)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在下列命題中:
①α=2kπ+
π
3
(k∈Z)是tanα=
3
的充分不必要條件
②函數(shù)y=sinxcosx的最小正周期是2π
③在△ABC中,若cosAcosB>sinAsinB,則△ABC為鈍角三角形
④函數(shù)y=2sin(2x+
π
6
)+1圖象的對(duì)稱中心為(
2
-
π
12
,1)
(k∈Z).
其中正確的命題為
 
(請(qǐng)將正確命題的序號(hào)都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)y=sinxcosx+
3
cos2x
的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是( 。
A、(
π
3
,-
3
2
B、(
3
,-
3
2
C、(
3
3
2
D、(
π
3
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•青浦區(qū)二模)函數(shù)y=sinxcosx+
3
的最小正周期為
π
π

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列說法:
①函數(shù)f(x)=lnx+3x-6的零點(diǎn)只有1個(gè)且屬于區(qū)間(1,2);
②若關(guān)于x的不等式ax2+2ax+1>0恒成立,則a∈(0,1);
③函數(shù)y=x的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn);
④函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx,x∈[0,
π4
]
的最小值是1.
正確的有
 
.(請(qǐng)將你認(rèn)為正確的說法的序號(hào)都寫上)

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