Question

【題目】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①曲線有四條對稱軸；

②曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為；

③曲線第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為；

④四葉草面積小于.

其中，所有正確結(jié)論的序號是（ ）

A.①②B.①③C.①③④D.①②④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①利用之間的代換判斷出對稱軸的條數(shù)；②利用基本不等式求解出到原點(diǎn)的距離最大值；③將面積轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，然后根據(jù)基本不等式求解出最大值；④根據(jù)滿足的不等式判斷出四葉草與對應(yīng)圓的關(guān)系，從而判斷出面積是否小于.

①：當(dāng)變?yōu)?/span>時(shí)， 不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；

當(dāng)變?yōu)?/span>時(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；

當(dāng)變?yōu)?/span>時(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；

當(dāng)變?yōu)?/span>時(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；

綜上可知：有四條對稱軸，故正確；

②：因?yàn)?/span>，所以，

所以，所以，取等號時(shí)，

所以最大距離為，故錯(cuò)誤；

③：設(shè)任意一點(diǎn)，所以圍成的矩形面積為，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

取等號時(shí)，所以圍成矩形面積的最大值為，故正確；

④：由②可知，所以四葉草包含在圓的內(nèi)部，

因?yàn)閳A的面積為：，所以四葉草的面積小于，故正確.

故選：C.