Question

移動(dòng)公司進(jìn)行促銷活動(dòng)，促銷方案為顧客消費(fèi)1000元，便可獲得獎(jiǎng)券一張，每張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為

1

5

，中獎(jiǎng)后移動(dòng)公司返還顧客現(xiàn)金1000元，小李購(gòu)買一臺(tái)價(jià)格2400元的手機(jī)，只能得2張獎(jiǎng)券，于是小李補(bǔ)償50元給同事購(gòu)買一臺(tái)價(jià)格600元的小靈通（可以得到三張獎(jiǎng)券），小李抽獎(jiǎng)后實(shí)際支出為ξ（元）；
（1）求ξ的分布列；
（2）試說(shuō)明小李出資50元增加1張獎(jiǎng)券是否劃算．

Answer 1

分析：（1）由題意知ξ的所有可能取值為2450，1450，450，-550，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，寫(xiě)出變量的概率，得到隨機(jī)變量的分布列．
（2）根據(jù)上一問(wèn)的分布列做出期望值，設(shè)出小李出資50元增加1張獎(jiǎng)券消費(fèi)的實(shí)際支出為ξ₁（元），寫(xiě)出變量的分布列，做出期望值，兩個(gè)期望值進(jìn)行比較，得到小王出資50元增加1張獎(jiǎng)券劃算．

解答：解：（1）由題意知ξ的所有可能取值為2450，1450，450，-550，
P（ξ=2450）=(

4

5

)3=

64

125

P（ξ=1450）=C₃¹（

1

5

）×(

4

5

)3=

48

125

p（ξ=450）=C₃²(

1

5

×(

4

5

)=

12

125

p（ξ=-550）=C₃³(

1

5

)3=

1

125

，
∴ξ分布列為

ξ	2450	1450	450	-550
P	64 125	48 125	12 125	1 125

（2）由上一問(wèn)知道
Eξ=2450×

64

125

+1450×

48

125

+450×

12

125

+(-550)×

1

125

=1850（元）
設(shè)小李出資50元增加1張獎(jiǎng)券消費(fèi)的實(shí)際支出為ξ₁（元）
則P（ξ₁=2400）=(

4

5

)2=

16

25

P（ξ₁=1400）=

48

125

P（ξ₁=400）=

C

2 2

(

1

5

)2=

1

25

∴Eξ₁=2400×

16

25

+1400×

48

125

+400×

1

25

=2000
∴Eξ＜Eξ₁
故小王出資50元增加1張獎(jiǎng)券劃算．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列，考查離散型隨機(jī)變量的期望，本題是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，題目的情景比較好，可以引起同學(xué)們的興趣．