（2012•廣東）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：的離心率，且橢圓C上的點到點Q（0，2）的距離的最大值為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．
（1）
（2）見解析
（1）由得a2=3b2，橢圓方程為x2+3y2=3b2
橢圓上的點到點Q的距離=
①當﹣b≤﹣1時，即b≥1，得b=1
②當﹣b＞﹣1時，即b＜1，得b=1（舍）
∴b=1
∴橢圓方程為
（2）假設M（m，n）存在，則有m2+n2＞1
∵|AB|=，點O到直線l距離
∴=
∵m2+n2＞1
∴0＜＜1，∴
當且僅當，即m2+n2=2＞1時，S△AOB取最大值，
又∵
解得：
所以點M的坐標為或或或，△AOB的面積為．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

(本小題滿分12分）
已知點A,橢圓E:的離心率為；F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點
（I）求E的方程；
（II）設過點A的動直線與E 相交于P,Q兩點。當的面積最大時，求的直線方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓的長軸長為，點、、為橢圓上的三個點，為橢圓的右端點，過中心，且，．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）設、是橢圓上位于直線同側(cè)的兩個動點（異于、），且滿足，試討論直線與直線斜率之間的關(guān)系，并求證直線的斜率為定值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知F1、F2為橢圓的左右焦點，過F1的直線交橢圓于A、B兩點，若，則= _____________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知P(x,y)為橢圓上一點,F為橢圓C的右焦點,若點M滿足且,則的最小值為(      )
A．B．3C．D．1

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C：離心率是，過點，且右支上的弦過右焦點．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求弦的中點的軌跡E的方程；
（3）是否存在以為直徑的圓過原點O？,若存在，求出直線的斜率k 的值．若不存在，則說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知有公共焦點的橢圓與雙曲線中心為原點,焦點在x軸上,左右焦點分別為F1,F2,且它們在第一象限的交點為P,△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形.若|PF1|=10,雙曲線的離心率的取值范圍為(1,2).則該橢圓的離心率的取值范圍是__________.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

過橢圓內(nèi)一點R(1,0)作動弦MN，則弦MN中點P的軌跡是(　　)
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓經(jīng)過點P（1.），離心率e=，直線l的方程為x=4.

（1）求橢圓C的方程；
（2）AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦（不經(jīng)過點P），設直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為.問：是否存在常數(shù)λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案