Question

下列四個(gè)函數(shù)：①f（x）=x²-2x；②f（x）=sinx，0≤x≤2π；③f（x）=2^x+x；④f（x）=log₂（2x-1），x＞

1

2

．其中，能使f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：若使f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]恒成立，則函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為增函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性即可．

解答： 解：若使f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]恒成立，
則函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為增函數(shù)，
即f′（x）在定義域上是增函數(shù)；
①∵f（x）=x²-2x，∴f′（x）=2x-2是增函數(shù)，故成立；
②∵f（x）=sinx，0≤x≤2π；∴f′（x）=cosx不是增函數(shù)，故不成立；
③∵f（x）=2^x+x，∴f′（x）=ln2•2^x+1是增函數(shù)，故成立；
④∵f（x）=log₂（2x-1），x＞

1

2

，∴f′（x）=

2

ln2•(2x-1)

在（

1

2

，+∞）上是減函數(shù)，
故不成立；
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生對(duì)新定義的接受能力及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．