Question

已知點是拋物線上不同的兩點，點在拋物線的準線上，且焦點

到直線的距離為.

(I）求拋物線的方程；

（2）現(xiàn)給出以下三個論斷：①直線過焦點；②直線過原點；③直線平行軸．

請你以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題，并加以證明.

 

Answer 1

（1） ；（2）參考解析

【解析】

試題分析：（1）由點F到直線的距離為可求得拋物線中.從而得到拋物線方程.

（2）根據(jù)題意共有三種情況：i) ①直線過焦點；②直線過原點.由直線AB與拋物線的方程聯(lián)立結(jié)合韋達定理，表示出點D,B的坐標即可得到③直線平行軸.ii) ①直線過焦點;③直線平行軸同樣是表達出點D,B的坐標即可得到點A,O,D三點共線，即可得到結(jié)論.iii) ②直線過原點；③直線平行軸表達出點A,B的坐標關(guān)系即可得到點A,F,B三點共線，即得到結(jié)論.

（I）因為， 依題意得, 2分

解得，所以拋物線的方程為 4分

（2）①命題：若直線過焦點，且直線過原點，則直線平行軸.

5分

設(shè)直線的方程為，， 6分

由 得，

， 8分

直線的方程為， 9分

所以點的坐標為，

， 12分

直線平行于軸． 13分

②命題：若直線過焦點，且直線平行軸，則直線過原點.

5分

設(shè)直線的方程為，， 6分

由 得，

， 8分

即點的坐標為， 9分

∵直線平行軸，∴點的坐標為， 10分

∴，，

由于，

∴∥，即三點共線， 12分

∴直線過原點． 13分

③命題：若直線過原點，且直線平行軸，則直線過焦點. 5分

設(shè)直線的方程為，則點的坐標為， 6分

∵直線平行軸，

∴，∴，即點的坐標為， 8分

由得，

∴即點的坐標為， 10分

∴，

由于，

∴∥，即三點共線， 12分

∴直線過焦點． 13分

考點：1.拋物線的性質(zhì).2.直線與拋物線位置關(guān)系.3.韋達定理的應(yīng)用.4.三點共線的判定.