Question

甲、乙兩地相距s千米，汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過(guò)60千米/小時(shí)，已知汽車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本（單位：元）由可變成本和固定成本組成，可變成本與速度v（千米/小時(shí)）的平方成正比，已知速度為50千米/小時(shí)時(shí)每小時(shí)可變成本是100元；每小時(shí)固定成本為a元．
（1）把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米/小時(shí)）的函數(shù)并標(biāo)明定義域；
（2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車(chē)應(yīng)以多大速度行駛？

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意，總的運(yùn)輸成本y=每小時(shí)的運(yùn)輸成本×?xí)r間，而每小時(shí)的成本包括固定成本和可變成本，可變成本與速度的平方成正比，先利用待定系數(shù)法求出正比例系數(shù)，然后再用速度結(jié)合路程把時(shí)間表示出來(lái)，則全程的運(yùn)輸成本即可用速度v表示出來(lái)；
（2）由第一問(wèn)得到了y關(guān)于速度v的函數(shù)，先利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，因?yàn)楹�有參�?shù)，所以要進(jìn)行討論，討論的依據(jù)就是極值點(diǎn)（增間區(qū)間的分界點(diǎn)）與函數(shù)定義域的關(guān)系，一般分成極值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，區(qū)間左、區(qū)間右?guī)追N情況討論．

解答： 解（1）設(shè)可變成本=kv²，由已知得100=k•50²，∴k=

1

25

，
∴可變成本=

1

25

v2，全程所用的時(shí)間為

s

v

，
∴全程運(yùn)輸成本為y=（a+

1

25

v² ）

s

v

=s（

a

v

+

v

25

），
所求函數(shù)及其定義域?yàn)閥=s（

a

v

+

v

25

），v∈（0，60]．
（2）∵y′=s（

1

25

-

a

v2

）=

v2-25a

25v2

s=

(v+5 a )(v-5 a )

25v2

s，v∈（0，60]
令y′=0得v=-5

a

（舍）或v=5

a

由題意：s，a，v均為正數(shù)，
∴當(dāng)5

a

＜60即0＜a＜144時(shí)，
y=s（

a

v

+

v

25

）在（0，5

a

]上單減，在[5

a

，60]上單增
所以當(dāng)v=5

a

時(shí)，全程運(yùn)輸成本y最�。�
（或用均值不等式：當(dāng)5

a

＜60即a＜144時(shí)，y=s（

a

v

+

v

25

）≥2s

a 25

，當(dāng)且僅當(dāng)

a

v

=

v

25

，即v=5

a

時(shí)等號(hào)成立）
當(dāng)5

a

≥60即a≥144時(shí)，
當(dāng)v∈（0，60]時(shí)，y′＜0，y=s（

a

v

+

v

25

）在（0，60]上單減，
∴此時(shí)當(dāng)v=60時(shí)，全程運(yùn)輸成本y取最小值
綜上，當(dāng)0＜a＜144時(shí)，行駛速度v=5

a

千米/小時(shí)時(shí)全程成本最小，
∴當(dāng)a≥144時(shí)，行駛速度v=60千米/小時(shí)時(shí)全程成本最�。�

點(diǎn)評(píng)：這是一道典型的利用導(dǎo)數(shù)研究其最值的應(yīng)用題，一般遵循審題、設(shè)、列、解、答幾大步，關(guān)鍵是審題過(guò)程，先要明確已知與所求，再找尋已知與所求的等量或不等關(guān)系，構(gòu)造方程、函數(shù)、或者不等式；本題是一個(gè)函數(shù)應(yīng)用題，需要求其最值，常采用導(dǎo)數(shù)方法先研究其在定義域內(nèi)的單調(diào)性，然后再求最值；當(dāng)然根據(jù)函數(shù)式的特征，也可以用基本不等式求最值，但要注意使用條件，即“一正、二定、三相等”．