Question

已知定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：
①對(duì)任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③當(dāng)x₁，x₂∈[0，1]，且x₁+x₂∈[0，1]時(shí)，f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．稱這樣的函數(shù)為“友誼函數(shù)”．
請(qǐng)解答下列各題：
（1）已知f（x）為“友誼函數(shù)”，求f（0）的值；
（2）函數(shù)g（x）=2^x-1在區(qū)間[0，1]上是否為“友誼函數(shù)”？請(qǐng)給出理由；
（3）已知f（x）為“友誼函數(shù)”，假定存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）∈[0，1]，且f[f（x₀）]=x₀，求證：f（x₀）=x₀．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）賦值可考慮取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），結(jié)合已知f（0）≥0，可求f（0）
（2）要判斷函數(shù)g（x）=2^x-1在區(qū)間[0，1]上是否為“友誼函數(shù)，只要檢驗(yàn)函數(shù)g（x）=2^x-1在[0，1]上是否滿足①g（x）＞0；②g（1）=1；③x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，有g(shù)（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂）即可．
（3）利用反正法，先假設(shè)f（x₀）≠x₀，然后分f（x₀）＞x₀，f（x₀）＜x₀，兩種情況分別進(jìn)行論證即可

解答： 解：（1）令x₁=1，x₂=0，則x₁+x₂=1∈[0，1]．
由③，得f（1）≥f（0）+f（1），即f（0）≤0．
又由①，得f（0）≥0，所以f（0）=0．
（2）g（x）=2^x-1是友誼函數(shù)．
任取x₁，x₂∈[0，1]，x₁+x₂∈[0，1]，有2x₁≥1，2x₂≥1．
則（2x₁-1）（2x₂-1）≥0．
即g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂）．又g（1）=1，
故g（x）在[0，1]上為友誼函數(shù)．
（3）取0≤x₁＜x₂≤1，則0＜x₂-x₁≤1．
因此，f（x₂）≥f（x₁）+f（x₂-x₁）≥f（x₁）．
假設(shè)f（x₀）≠x₀，
若f（x₀）＞x₀，則f[f（x₀）]≥f（x₀）＞x₀．
若f（x₀）＜x₀，則f[f（x₀）]≤f（x₀）＜x₀．
都與題設(shè)矛盾，因此f（x₀）=x₀．

點(diǎn)評(píng)：采用賦值法是解決抽象函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用的常用方法，而函數(shù)的新定義往往轉(zhuǎn)化為一般函數(shù)性質(zhì)的研究，本題結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)的函數(shù)的函數(shù)值域的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用．