Question

函數(shù)f（x）=x²（0＜x＜1）的圖象如圖所示，其在點M（t，f（t））處的切線為l，l與x軸和直線x=1分別交于點P、Q，點N（1，0），設(shè)△PQN的面積為S=g（t）．
（Ⅰ）求g（t）的表達式；
（Ⅱ）若△PQN的面積為b時的點M恰好有兩個，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：對第（1）問，先求導，得切線方程，由直線的橫、縱截距，得△PQN面積的表達式；
對第（2）問，先求g'（t），再判斷函數(shù)g（t）的單調(diào)性，只需函數(shù)y=b的圖象與函數(shù)g（t）的圖象有兩個不同的交點即可．

解答： 解：（Ⅰ）由條件知點M（t，t²），f'（x）=2x，
則切線的斜率為k=f'（t）=2t，
由點斜式得l的方程為y-t²=2t（x-t），
當x=1時，y=2t-t²；當y=0時，x=

t

2

，即P(

t

2

，0)，Q（1，2t-t²），
所以S=g（t）=

1

2

(1-

t

2

)(2t-t2)=

1

4

t(t-2)2(0＜t＜1)，
即g（t）=

1

4

t(t-2)2(0＜t＜1)．
（Ⅱ）g′(x)=

1

4

(t-2)(3t-2)，
當t∈(0，

2

3

)時，g'（t）＞0，g（t）單調(diào)遞增；
當t∈(

2

3

，1)時，g'（t）＜0，g（t）單調(diào)遞減．
又g(

2

3

)=

8

27

，g(1)=

1

4

，g（0）=0，
所以要使△PQN的面積為b時的點M恰好有兩個，
則函數(shù)g（t）的圖象上的點M的縱坐標為b時，橫坐標有兩個，
從而b∈(

1

4

，

8

27

)．

點評：1．本題考查了導數(shù)的幾何意義，及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等，應注意定義域?qū)�單調(diào)區(qū)間與極值的影響．
2．解決本題的關(guān)鍵是弄清函數(shù)g（t）圖象的升降及大致形狀，區(qū)間端點處的函數(shù)值，這也是許多導數(shù)綜合題中需要完成的主要任務．