Question

（本小題滿分7分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，曲線的參數(shù)方程為

．

（1）已知在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，判斷點(diǎn)與直線的位置關(guān)系；

（2）設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線的距離的最小值．

 

Answer 1

（1）點(diǎn)在直線上；（2）．

【解析】

試題分析：（1）先利用點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式，把極坐標(biāo)系下的點(diǎn)（4，）化為直角坐標(biāo)，再在直角坐標(biāo)系下判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系；

（2）根據(jù)曲線C的參數(shù)方程，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)Q到直線l的距離，最后利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得d的最小值．

試題解析：（1）把極坐標(biāo)系下的點(diǎn)化為直角坐標(biāo)得，

滿足方程，點(diǎn)在直線上. 2分

（2）解法一、因?yàn)辄c(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，故可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為， 所以點(diǎn)到直線的距離

5分

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值 7分

解法二、曲線的普通方程為：， 1分

平移直線到使之與曲線相切，設(shè)，

由 得：，即： 2分

由，解得：， 5分

曲線上的點(diǎn)到距離的最小值. 7分

考點(diǎn)：1.點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；2. 點(diǎn)到直線的距離公式；3. 參數(shù)方程化成普通方程．