【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：時(shí)，；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，計(jì)論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】(Ⅰ)詳見解析（Ⅱ）詳見解析

【解析】

（Ⅰ）求出，令，求出，從而判斷的單調(diào)性，由即可判斷的正負(fù)情況，從而求得在遞減，遞增；當(dāng)時(shí)，成立，命題得證。

（Ⅱ）對(duì)的范圍分類討論，由的單調(diào)性求得，把看作變量，求得的單調(diào)性，從而得到（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），再對(duì)的范圍分類討論的單調(diào)性，從而判斷的單調(diào)性，從而求得極值點(diǎn)個(gè)數(shù)。

(Ⅰ)由，易知，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，又

∴時(shí)，，時(shí)，，即在遞減，遞增；所以當(dāng)時(shí)，得證.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)在處取得極小值，無極大值，故此時(shí)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；

當(dāng)時(shí)，易知在遞減，遞增，所以，又設(shè)，其中，則對(duì)恒成立，所以單調(diào)遞減，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以當(dāng)時(shí)，即在單調(diào)遞增，故此時(shí)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；

當(dāng)時(shí)，，在遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，即總在處取得極小值；又當(dāng)且時(shí)，，所以存在唯一使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在處取得極大值；故此時(shí)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；

綜上，當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；當(dāng)時(shí)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)， ）. 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）設(shè)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離的最大值；

（2）若曲線上所有的點(diǎn)均在直線的右下方，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出以下四個(gè)說法：

①殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關(guān)指數(shù)越小

②在刻畫回歸模型的擬合效果時(shí)，相關(guān)指數(shù)的值越大，說明擬合的效果越好；

③在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均增加個(gè)單位；

④對(duì)分類變量與，若它們的隨機(jī)變量的觀測(cè)值越小，則判斷“與有關(guān)系”的把握程度越大．

其中正確的說法是

A. ①④B. ②④C. ①③D. ②③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)、，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司的甲、乙兩名工程師因?yàn)楣ぷ餍枰�，各自選購一臺(tái)筆記本電腦.該公司提供了三款筆記本電腦作為備選，這三款筆記本電腦在某電商平臺(tái)的銷量和用戶評(píng)分如下表所示：

型號(hào)

銷量（臺(tái)）

2000

2000

4000

用戶評(píng)分

8

6.5

9.5

若甲選購某款筆記本電腦的概率與對(duì)應(yīng)的銷量成正比，乙選購某款筆記本電腦的概率與對(duì)應(yīng)的用戶評(píng)分減去5的值成正比，且他們兩人選購筆記本電腦互不影響.

（1）求甲、乙兩人選購不同款筆記本電腦的概率；

（2）若公司給購買這三款筆記本電腦的員工一定的補(bǔ)貼，補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表：

型號(hào)

補(bǔ)貼（千元）

3

4

5

記甲、乙兩人獲得的公司補(bǔ)貼之和為千元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測(cè)驗(yàn)（指標(biāo)值滿分為100分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測(cè)驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖，則下面敘述不正確的是（ ）

A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算最強(qiáng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年世界海洋日暨全國海洋宣傳日主場(chǎng)活動(dòng)在海南三亞舉行，此次活動(dòng)主題為“珍惜海洋資源保護(hù)海洋生物多樣性”，旨在進(jìn)一步提高公眾對(duì)節(jié)約利用海洋資源、保護(hù)海洋生物多樣性的認(rèn)識(shí)，為保護(hù)藍(lán)色家園做出貢獻(xiàn).聯(lián)合國于第63屆聯(lián)合國大會(huì)上將每年的6月8日確定為“世界海洋日”，為了響應(yīng)世界海洋日的活動(dòng)，2019年12月北京某高校行政主管部門從該大學(xué)隨機(jī)抽取部分大學(xué)生進(jìn)行一次海洋知識(shí)測(cè)試，并根據(jù)被測(cè)驗(yàn)學(xué)生的成績（得分都在區(qū)間內(nèi)）繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）試求被測(cè)驗(yàn)大學(xué)生得分的中位數(shù)（保留到整數(shù)）；

（2）若學(xué)生的得分成績不低于80分的認(rèn)為是“成績優(yōu)秀”，現(xiàn)在從認(rèn)為“成績優(yōu)秀”的學(xué)生中根據(jù)原有分組按照分層抽樣的方法抽取10人進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，最后再從這10人中隨機(jī)選取3人作為優(yōu)秀代表發(fā)言.

①求所抽取的3人不屬于同一組的概率；

②記這3人中，為測(cè)試成績?cè)?/span>內(nèi)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】離心率的橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上.過點(diǎn)的斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn)、，且滿足.

（1）固定，當(dāng)的面積取得最大值時(shí)，求橢圓的方程；

（2）若變化，且，試問：實(shí)數(shù)和分別為何值時(shí)，橢圓的長軸長取得最大值？并求出此時(shí)橢圓的方程.

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