如圖所示,雙曲線的中心在坐標原點,焦點在x軸上,F(xiàn)
1,F(xiàn)
2分別為左、右焦點,雙曲線的左支上有一點P,∠F
1PF
2=
,且△PF
1F
2的面積為2
,雙曲線的離心率為2,求該雙曲線的標準方程.
-
=1
△PF
1F
2是焦點三角形,利用余弦定理來探索|PF
1|,|PF
2|,a,b,c之間的關系,以便確定雙曲線的基本量的大。
設雙曲線方程為
-
=1(a>0,b>0),則F
1(-c,0),F(xiàn)
2(c,0),在△PF
1F
2中,由余弦定理可得
|F
1F
2|
2=|PF
1|
2+|PF
2|
2-2|PF
1|·|PF
2|·cos
=(|PF
1|-|PF
2|)
2+|PF
1|·|PF
2|,∴4c
2=4a
2+|PF
1|·|PF
2|.
又S
△PF1F2=2
,∴
|PF
1|·|PF
2|·sin
=2
.
∴|PF
1|·|PF
2|=8,∴4c
2=4a
2+8,∴c
2=a
2+2,∴b
2=c
2-a
2=2,又e=
=2,∴c=2a,∴4a
2=a
2+2,∴a
2=.
∴雙曲線的標準方程為
-
=1.
練習冊系列答案
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1:
-
=1上,點Q在曲線C
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3:(x+5)
2+y
2=1上,則|PQ|-|PR|的最大值是________.
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-
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已知點
是以
為焦點的雙曲線
上一點,
,
則雙曲線的離心率為( )
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