Question

如圖所示，將一個長為8m，寬為5m的長方形剪去四個相同的邊長為xm的正方形，然后再將所得圖形圍成一個無蓋長方體，試求x為多少時，長方體的體積最大？最大體積為多少？

Answer 1

解：根據(jù)題意邊長為xm的正方形，容器的體積為f（x），
則有V=f（x）=（8-2x）（5-2x）x=4x³-26x²+40x，（0＜x＜2.5）
求導可得到：V′=12x²-52x²+40，
由V′=12x²-52x²+40=0得x₁=1，x₂=（舍去）．
所以當x＜1時，V′＞0，
當1＜x＜時，V′＜0，
當x＞時，V′＞0，
所以，當x=1，V有極大值f（1）=18，又f（0）=0，f（2.5）=0，
所以當x=1，V有最大值f（1）=18．
分析：首先分析題目求長為8m，寬為5m的長方形鐵皮做一個無蓋長方體，當長方體的高為多少時，容積最大．故可根據(jù)邊長為xm的正方形，求出長方體的體積f（x）關于x的方程，然后求出導函數(shù)，分析單調性即可求得最值．
點評：此題主要考查用代數(shù)式表示正方形、矩形的面積和體積、考查函數(shù)求最值在實際問題中的應用，其中涉及到由導函數(shù)分類討論單調性的思想，在高考中屬于重點考點，同學們需要理解并記憶．