【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0),四點P1(1,1),P2(0,1),P3(﹣1, ),P4(1, )中恰有三點在橢圓C上.(12分)
(1)求C的方程;
(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為﹣1,證明:l過定點.

【答案】
(1)

解:根據(jù)橢圓的對稱性,P3(﹣1, ),P4(1, )兩點必在橢圓C上,

又P4的橫坐標(biāo)為1,∴橢圓必不過P1(1,1),

∴P2(0,1),P3(﹣1, ),P4(1, )三點在橢圓C上.

把P2(0,1),P3(﹣1, )代入橢圓C,得:

,解得a2=4,b2=1,

∴橢圓C的方程為 =1.


(2)

證明:①當(dāng)斜率不存在時,設(shè)l:x=m,A(m,yA),B(m,﹣yA),

∵直線P2A與直線P2B的斜率的和為﹣1,

= = =﹣1,

解得m=2,此時l過橢圓右頂點,不存在兩個交點,故不滿足.

②當(dāng)斜率存在時,設(shè)l:y=kx+b,(b≠1),A(x1,y1),B(x2,y2),

聯(lián)立 ,整理,得(1+4k2)x2+8kbx+4b2﹣4=0,

,x1x2= ,

= =

= = =﹣1,又b≠1,

∴b=﹣2k﹣1,此時△=﹣64k,存在k,使得△>0成立,

∴直線l的方程為y=kx﹣2k﹣1,

當(dāng)x=2時,y=﹣1,

∴l(xiāng)過定點(2,﹣1).


【解析】(1.)根據(jù)橢圓的對稱性,得到P2(0,1),P3(﹣1, ),P4(1, )三點在橢圓C上.把P2(0,1),P3(﹣1, )代入橢圓C,求出a2=4,b2=1,由此能求出橢圓C的方程.
(2.)當(dāng)斜率不存在時,不滿足;當(dāng)斜率存在時,設(shè)l:y=kx+b,(b≠1),聯(lián)立 ,得(1+4k2)x2+8kbx+4b2﹣4=0,由此利用根的判別式、韋達定理、直線方程,結(jié)合已知條件能證明直線l過定點(2,﹣1).
【考點精析】本題主要考查了斜截式方程和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識點,需要掌握直線的斜截式方程:已知直線的斜率為,且與軸的交點為則:;橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸:,焦點在y軸:才能正確解答此題.

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