Question

已知2+ai，b+i（其中a，b∈R）是實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+px+q=0的兩個(gè)根．
（1）求a，b，p，q的值；
（2）計(jì)算：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+px+q=0仍然滿足韋達(dá)定理（一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系），我們易根據(jù)2+ai，b+i是實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+px+q=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個(gè)根，構(gòu)造關(guān)于p，q的方程，解方程即可求出a，b，p，q的值．
（2）根據(jù)a，b，p，q的值，利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則，能夠計(jì)算的值．
解答：解：（1）∵2+ai，b+i（其中a，b∈R）是實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+px+q=0的兩個(gè)根，
∴，
即，
∴，
解得a=-1，b=2，
∴p=-4，q=5，
故b=2，a=-1，p=-4，q=5．（每一個(gè)值2分）…（8分）
（2）∵b=2，a=-1，p=-4，q=5，
∴=．…（6分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，復(fù)數(shù)的基本概念，其中根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程仍然滿足韋達(dá)定理（一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系），結(jié)合已知條件構(gòu)造關(guān)于p，q的方程，是解答本題的關(guān)鍵．