(2012•靜安區(qū)一模)已知2+ai,b+i(其中a,b∈R)是實系數(shù)一元二次方程x2+px+q=0的兩個根.
(1)求a,b,p,q的值;
(2)計算:
a+bip+qi
分析:(1)由于實系數(shù)一元二次方程x2+px+q=0仍然滿足韋達定理(一元二次方程根與系數(shù)的關系),我們易根據(jù)2+ai,b+i是實系數(shù)一元二次方程x2+px+q=0在復數(shù)范圍內的兩個根,構造關于p,q的方程,解方程即可求出a,b,p,q的值.
(2)根據(jù)a,b,p,q的值,利用復數(shù)的乘除運算法則,能夠計算
a+bi
p+qi
的值.
解答:解:(1)∵2+ai,b+i(其中a,b∈R)是實系數(shù)一元二次方程x2+px+q=0的兩個根,
2+ai+b+i=-p
(2+ai)(b+i)=q
,
(2+b)+(a+1)i=-p
(2b-a)+(ab+2)i=q
,
a+1=0
ab+2=0
,
解得a=-1,b=2,
∴p=-4,q=5,
故b=2,a=-1,p=-4,q=5.(每一個值2分)…(8分)
(2)∵b=2,a=-1,p=-4,q=5,
a+bi
p+qi
=
-1+2i
-4+5i
=
(-1+2i)(-4-5i)
16+25
=
14-3i
41
.…(6分)
點評:本題考查的知識點是一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系,復數(shù)的基本概念,其中根據(jù)實系數(shù)一元二次方程仍然滿足韋達定理(一元二次方程根與系數(shù)的關系),結合已知條件構造關于p,q的方程,是解答本題的關鍵.
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3
3
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