【題目】已知圓M的圓心在直線：上，與直線：相切，截直線：所得的弦長為6.

（1）求圓M的方程；

（2）過點的兩條成角的直線分別交圓M于A，C和B，D，求四邊形面積的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設圓的標準方程，將圓心代入直線的方程，由點到直線距離公式求得圓M到的距離，由弦長公式及點到直線距離公式表示出直線與圓的關系，解方程組即可求得的值，即可求得圓M的標準方程

（2）解法1：作，，令，，討論或兩種情況：當時，由余弦定理表示出，而、、、四點共圓，根據(jù)正弦定理求得，進而求得，結合基本不等式即可求得，即可求得四邊形面積的最大值；當時，由基本不等式求得，即可由二次函數(shù)性質求得四邊形面積的最大值.

解法2：結合三角形面積公式可得，由基本不等式可知，討論或兩種情況，即可確定四邊形面積的最大值.

（1）設圓M的方程為：

則，解得：，

∴所求圓方程為

（2）解法1：

如圖作，，令，，或

當時，，

因、、、四點共圓，

由正弦定理，

∴，

又，

∴，

，

，當且僅當時取等，

當時，，

∴，

又，

所以，

綜上所述，四邊形面積的最大值為.

解法2：

（當且僅當時取等號），

要使得，則直線PM應是的平分線，

當時，圓心M到直線AC、BD的距離為，則，

.

當時，圓心M到直線AC、BD的距離為，則，

.

綜上所述，四邊形面積的最大值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校高三課外興趣小組為了解高三同學高考結束后是否打算觀看2018年足球世界杯比賽的情況,從全校高三年級1500名男生、1000名女生中按分層抽樣的方式抽取125名學生進行問卷調查,情況如下表:

打算觀看

不打算觀看

女生

20

b

男生

c

25

（1）求出表中數(shù)據(jù)b，c;

（2）判斷是否有99%的把握認為觀看2018年足球世界杯比賽與性別有關;

（3）為了計算“從10人中選出9人參加比賽”的情況有多少種，我們可以發(fā)現(xiàn)它與“從10人中選出1人不參加比賽”的情況有多少種是一致的.現(xiàn)有問題：在打算觀看2018年足球世界杯比賽的同學中有5名男生、2名女生來自高三（5）班，從中推選5人接受校園電視臺采訪，請根據(jù)上述方法，求被推選出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率.

P(K2≥k0)

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

K0

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

附：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù)，且滿足，當時， ，當時， 的最大值為.

（1）求實數(shù)的值；

（2）函數(shù)，若對任意的，總存在，使不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的左、右焦點分別為， ，且離心率為， 為橢圓上任意一點，當時， 的面積為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點是橢圓上異于橢圓頂點的一點，延長直線， 分別與橢圓交于點， ，設直線的斜率為，直線的斜率為，求證： 為定值.

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）設由題，由此求出,可得橢圓的方程；

（2）設， ，

當直線的斜率不存在時，可得；

當直線的斜率不存在時，同理可得.

當直線、的斜率存在時，，

設直線的方程為，則由消去通過運算可得

，同理可得，由此得到直線的斜率為，

直線的斜率為，進而可得.

試題解析：（1）設由題，

解得，則，

橢圓的方程為.

（2）設， ，

當直線的斜率不存在時，設，則，

直線的方程為代入，可得，

， ，則，

直線的斜率為，直線的斜率為，

，

當直線的斜率不存在時，同理可得.

當直線、的斜率存在時，，

設直線的方程為，則由消去可得：

，

又，則，代入上述方程可得

，

，則

，

設直線的方程為，同理可得，

直線的斜率為，

直線的斜率為，

.

所以，直線與的斜率之積為定值，即.

【題型】解答題
【結束】
21

【題目】已知函數(shù)， ，在處的切線方程為.

（1）求， ；

（2）若，證明： .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（， 為參數(shù)），以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，若直線與曲線相切；

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）在曲線上取兩點， 與原點構成，且滿足，求面積的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）利用極坐標與直角坐標的互化公式可得直線的直角坐標方程為，

，消去參數(shù)可知曲線是圓心為，半徑為的圓，由直線與曲線相切，可得： ；則曲線C的方程為， 再次利用極坐標與直角坐標的互化公式可得

可得曲線C的極坐標方程.

(2)由（1）不妨設M（），，（），

，

，

由此可求面積的最大值.

試題解析：（1）由題意可知直線的直角坐標方程為，

曲線是圓心為，半徑為的圓，直線與曲線相切，可得： ；可知曲線C的方程為，

所以曲線C的極坐標方程為，

即.

(2)由（1）不妨設M（），，（），

，

，

當 時， ，

所以△MON面積的最大值為.

【題型】解答題
【結束】
23

【題目】已知函數(shù)的定義域為；

（1）求實數(shù)的取值范圍；

（2）設實數(shù)為的最大值，若實數(shù)， ， 滿足，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對某校高三年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區(qū)服務的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表如下，頻率分布直方圖如圖：

分組

頻數(shù)

頻率

[10，15）

10

0.25

[15，20）

24

n

[20，25）

m

p

[25，30）

2

0.05

合計

M

1

（1）求出表中M，p及圖中a的值；

（2）若該校高三學生有240人，試估計該校高三學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在區(qū)間[10，15）內的人數(shù)；

（3）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務的次數(shù)不少于20次的學生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務次數(shù)在區(qū)間[25，30）內的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設對任意恒成立，其中、是整數(shù)，則的取值的集合為____．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某射擊運動員進行射擊訓練，前三次射擊在靶上的著彈點剛好是邊長為的等邊三角形的三個頂點.

（Ⅰ）第四次射擊時，該運動員瞄準區(qū)域射擊（不會打到外），則此次射擊的著彈點距的距離都超過的概率為多少？（彈孔大小忽略不計）

(Ⅱ) 該運動員前三次射擊的成績（環(huán)數(shù)）都在區(qū)間內，調整一下后，又連打三槍，其成績（環(huán)數(shù)）都在區(qū)間內.現(xiàn)從這次射擊成績中隨機抽取兩次射擊的成績（記為和）進行技術分析.求事件“”的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了配合新冠疫情防控，某市組織了以“停課不停學，成長不停歇”為主題的“空中課堂”，為了了解一周內學生的線上學習情況，從該市中抽取1000名學生進行調査，根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）為了估計從該市任意抽取的3名同學中恰有2人線上學習時間在[200,300）的概率，特設計如下隨機模擬的方法：先由計算器產生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，依次用0,1,2,3，…9的前若干個數(shù)字表示線上學習時間在[200,300）的同學，剩余的數(shù)字表示線上學習時間不在[200,300）的同學；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表線上學習的情況．

假設用上述隨機模擬方法已產生了表中的30組隨機數(shù)，請根據(jù)這批隨機數(shù)估計概率的值；

907 966 191 925 271 569 812 458 932 683 431 257 027 556

438 873 730 113 669 206 232 433 474 537 679 138 602 231

（2）為了進一步進行調查，用分層抽樣的方法從這1000名學生中抽出20名同學，在抽取的20人中，再從線上學習時間[350,450）（350分鐘至450分鐘之間）的同學中任意選擇兩名，求這兩名同學來自同一組的概率．

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同步練習冊答案