Question

如圖所示，菱形ABCD的邊長為

3

，∠ABC=60°，點P為對角線BD上任意一點，則

BP

•（

PA

-

PC

）=

 

；

BP

•（

PA

+

PC

）的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：向量在幾何中的應用

專題：平面向量及應用

分析：利用菱形的幾何性質(zhì)可知，線段BP所在直線與AC垂直，再結(jié)合減法幾何意義，容易得第（1）結(jié)果為0；第（2）問涉及到了范圍的計算問題，又菱形具有建系的充分條件，因此利用建系把問題變成坐標運算問題，最終轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題．

解答： 解：∵菱形ABCD，∴對角線CA⊥BD，又

PA

-

PC

=

CA

，且點P為對角線BD上任意一點，
∴

BP

∥

BD

∴

BP

⊥

CA

，∴

BP

•

CA

=0，∴

BP

•（

PA

-

PC

）=0；
對于第二問：
如圖建立坐標系，∵菱形ABCD的邊長為

3

，∠ABC=60°∴∠ADO=30°，∴|

OD

|=

3

cos30°=

3

2

，|

OA

|=

3

sin30°=

3

2

，
∴B(-

3

2

，0)，D(

3

2

，0)，設P（x，0）則由已知得 -

3

2

≤x≤

3

2

，由菱形的性質(zhì)，

PA

+

PC

=2

PO

=(-2x，0)，而

BP

=(x+

3

2

，0)，
∴

BP

•(

PA

+

PC

)=

BP

•2

PO

=(x+

3

2

，0)•(-2x，0)=-2x2-3x=-2(x+

3

4

)2+

9

8

，
又∵-

3

2

≤x≤

3

2

，該函數(shù)在[-

3

2

，-

3

4

]上遞增，在(-

3

4

，

3

2

]上遞減，
所以當x=

3

2

時，取得最小值-9；當x=-

3

4

時，取得最大值

9

8

，所以所求的取值范圍是[-9，

9

8

]．
故答案為0，[-9，

9

8

]

點評：將菱形的幾何性質(zhì)和向量加法、減法、數(shù)乘及內(nèi)積運算的幾何意義結(jié)合起來，才能有效的解決問題．這個題建系后要注意引入的變量x的范圍．