設(shè)n∈N*,n>1,用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
n
分析:直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明不等式,(1)驗(yàn)證n=2時(shí)不等式成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)成立,利用放縮法證明n=k+1時(shí),不等式也成立.
解答:證明:記f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
.(n∈N*,n>1)…(2分)
(1)當(dāng)n=2時(shí),f(2)=1+
1
2
2
,不等式成立;             …(4分)
(2)假設(shè)n=k(n∈N*,n≥2)時(shí),不等式成立,…(6分)
即f(k)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
k
k

則當(dāng)n=k+1時(shí),有f(k+1)=f(k)+
1
k+1
k
+
1
k+1
=
k(k+1)
+1
k+1
k+1
k+1
=
k+1
   …(10分)
∴當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.…(12分)
綜合(1),(2)知,原不等式對(duì)任意的n∈N*,(n>1)都成立.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟,注意不等式的證明方法,放縮法的應(yīng)用,考查邏輯推理能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=1-e-x-
x
ax+1
,(a∈R).
(1)若a=1,證明:當(dāng)x>-1時(shí),f(x)≥0;
(2)若f(x)≤0在[0,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)設(shè)n∈N且n>1求證:(n-1)!≥e2n-2-
n
k=2
4
k

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于n∈N*(n≥2),定義一個(gè)如下數(shù)陣:Ann=
a11a12a1n
a21a22a2n
an1an2ann
,其中對(duì)任意的1≤i≤n,1≤j≤n,當(dāng)i能整除j時(shí),aij=1;當(dāng)i不能整除j時(shí),aij=0.設(shè)t(j)=
n
i=1
aij=a1j+a2j+…+anj

(Ⅰ)當(dāng)n=6時(shí),試寫出數(shù)陣A66并計(jì)算
6
j=1
t(j)
;
(Ⅱ)若[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),求證:
n
j=1
t(j)
=
n
i=1
n
i
 ]
;
(Ⅲ)若f(n)=
1
n
n
j=1
t(j)
,g(n)=
n
1
1
x
dx
,求證:g(n)-1<f(n)<g(n)+1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:0110 期末題 題型:證明題

設(shè)n∈N*,n>1,用數(shù)學(xué)歸納法證明:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年江蘇省無(wú)錫市宜興市高二(下)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

設(shè)n∈N*,n>1,用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+++

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