設(shè)函數(shù)f(x)=1-e-x-
x
ax+1
,(a∈R).
(1)若a=1,證明:當(dāng)x>-1時(shí),f(x)≥0;
(2)若f(x)≤0在[0,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)設(shè)n∈N且n>1求證:(n-1)!≥e2n-2-
n
k=2
4
k
分析:(1)即證當(dāng)x>-1時(shí),ex≥x+1,構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex-x-1,可得g(x)在[0,+∞)上單調(diào)增,(-1,0]上單調(diào)減,從而可得g(x)≥0,故得證;
(2)f(x)≤0在[0,+∞)上恒成立,等價(jià)于x≥0時(shí),1-e-x
x
ax+1
,先確定a≥0,從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x≥0時(shí),(1-e-x)(ax+1)-x≤0,構(gòu)建函數(shù)h(x)=(1-e-x)(ax+1)-x,利用h′(x)=a(1-e-x)+(ax+1)e-x-1,h″(x)=e-x(2a-ax-1),確定函數(shù)的單調(diào)性,從而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)由(2)知,當(dāng)a=
1
2
時(shí),1-e-x
x
1
2
x+1
,從而e-x
2-x
x+2
x≤ln (
2+x
-x+2
)=ln(-1+ 
4
2-x
)
,令
4
2-x
=n
,可得ln(n-1)≥2-
4
n
(n≥2)
,疊加即可得出結(jié)論.
解答:(1)證明:a=1時(shí),f(x)=1-e-x-
x
x+1

當(dāng)x>-1時(shí),f(x)≥0,即1-e-x-
x
x+1
≥ 0
,亦即1-(x+1)e-x≥0,即ex≥x+1
因此只要證當(dāng)x>-1時(shí),ex≥x+1
構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex-x-1,∴g′(x)=ex-1
當(dāng)x≥0時(shí),g′(x)≥0;當(dāng)-1<x<0時(shí),g′(x)<0
∴g(x)在[0,+∞)上單調(diào)增,(-1,0]上單調(diào)減
∴g(x)min=g(0)=0
∴g(x)≥0,即當(dāng)x>-1時(shí),ex≥x+1
∴當(dāng)x>-1時(shí),f(x)≥0;
(2)解:f(x)≤0在[0,+∞)上恒成立,等價(jià)于x≥0時(shí),1-e-x
x
ax+1
恒成立
∵1-e-x∈[0,1),∴
x
ax+1
≥0

∴若x=0時(shí),0=0,此時(shí)a∈R;若x>0,ax+1>0,∴a>-
1
x
,∴a≥0
∴a≥0,
x≥0時(shí),1-e-x
x
ax+1
恒成立,等價(jià)于(1-e-x)(ax+1)-x≤0恒成立
令h(x)=(1-e-x)(ax+1)-x,
∴h′(x)=a(1-e-x)+(ax+1)e-x-1
∴h″(x)=e-x(2a-ax-1)
∵a≥0,x≥0,∴h″(x)≤(2a-1)e-x
①若2a-1≤0,即0≤a≤
1
2
時(shí),h″(x)≤0,
∴h′(x)在[0,+∞)上單調(diào)減,∴h′(x)≤h(0)=0,
∴h(x)在[0,+∞)上單調(diào)減,∴h(x)≤h(0)=0,∴f(x)≤0,滿足題意;
②若2a-1>0,即a>
1
2
時(shí),當(dāng)0<x<
2a-1
a
時(shí),h″(x)>0,
∴h′(x)在[0,+∞)上單調(diào)增,∴h′(x)>h(0)=0,
∴h(x)在[0,+∞)上單調(diào)增,∴h(x)>h(0)=0,∴f(x)>0,不滿足題意;
綜上知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,
1
2
]
;
(3)證明:由(2)知,當(dāng)a=
1
2
時(shí),1-e-x
x
1
2
x+1
,∴e-x
2-x
x+2
,當(dāng)x∈(0,2)時(shí),ex
2+x
-x+2

x≤ln (
2+x
-x+2
)=ln(-1+ 
4
2-x
)

4
2-x
=n
,∴x=2-
4
n
,∴ln(n-1)≥2-
4
n
(n≥2)

n
k=2
ln(k-1)≥2n-2-
n
k=2
4
k
,
ln[1×2×…×(n-1)]≥2n-2-
n
k=2
4
k

ln(n-1)!≥2n-2-
n
k=2
4
k

(n-1)!≥e2n-2-
n
k=2
4
k
點(diǎn)評(píng):本題考查不等式的證明,考查恒成立問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查構(gòu)建新函數(shù),考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,難度大,需要較強(qiáng)的基本功.
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設(shè)函數(shù)f(x)=
-1,x>0
1,x<0
,則
(a+b)-(a-b)f(a-b)
2
(a≠b)的值是( 。
A、aB、b
C、a,b中較小的數(shù)D、a,b中較大的數(shù)

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設(shè)函數(shù)f(x)=
1-x
1+x
的反函數(shù)為h(x),又函數(shù)g(x)與h(x+1)的圖象關(guān)于有線y=x對(duì)稱,則g(2)的值為(  )
A、-
4
3
B、-
1
3
C、-1
D、-2

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設(shè)函數(shù)f(x)=
 
1-x2
,(|x|≤1)
|x|,(|x|>1)
,若方程f(x)=a有且只有一個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)a滿足( 。
A、a<0B、0≤a<1
C、a=1D、a>1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
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①求它的定義域;
②求證:f(
1
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;
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1+x1-x
e-ax

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