對于n∈N*(n≥2),定義一個如下數(shù)陣:Ann=
a11a12a1n
a21a22a2n
an1an2ann
,其中對任意的1≤i≤n,1≤j≤n,當i能整除j時,aij=1;當i不能整除j時,aij=0.設t(j)=
n
i=1
aij=a1j+a2j+…+anj

(Ⅰ)當n=6時,試寫出數(shù)陣A66并計算
6
j=1
t(j)
;
(Ⅱ)若[x]表示不超過x的最大整數(shù),求證:
n
j=1
t(j)
=
n
i=1
n
i
 ]
;
(Ⅲ)若f(n)=
1
n
n
j=1
t(j)
,g(n)=
n
1
1
x
dx
,求證:g(n)-1<f(n)<g(n)+1.
分析:(Ⅰ)依題意可得,A66=
111111
010101
001001
000100
000010
000001
. 
6
j=1
t(j)=1+2+2+3+2+4=14

(Ⅱ)由題意可知,t(j)是數(shù)陣Ann的第j列的和,因此
n
j=1
t(j)
是數(shù)陣Ann所有數(shù)的和.而數(shù)陣Ann所有數(shù)的和也可以考慮按行相加.對任意的1≤i≤n,不超過n的倍數(shù)有1i,2i,…,[
n
i
]i
.因此數(shù)陣Ann的第i行中有[
n
i
]
個1,其余是0,即第i行的和為[
n
i
]
.從而得到結果.
(Ⅲ)由[x]的定義可知,
n
i
-1<[
n
i
]≤
n
i
,所以
n
i=1
n
i
-n<
n
i=1
[
n
i
]≤
n
i=1
n
i
.所以
n
i=1
1
i
-1<f(n)≤
n
i=1
1
i
.再考查定積分
n
1
1
x
dx
,根據(jù)曲邊梯形的面積的計算即可證得結論.
解答:解:(Ⅰ)依題意可得,A66=
111111
010101
001001
000100
000010
000001
. 
6
j=1
t(j)=1+2+2+3+2+4=14

(Ⅱ)由題意可知,t(j)是數(shù)陣Ann的第j列的和,因此
n
j=1
t(j)
是數(shù)陣Ann所有數(shù)的和.
而數(shù)陣Ann所有數(shù)的和也可以考慮按行相加.
對任意的1≤i≤n,不超過n的倍數(shù)有1i,2i,…,[
n
i
]i

因此數(shù)陣Ann的第i行中有[
n
i
]
個1,其余是0,即第i行的和為[
n
i
]

所以
n
j=1
t(j)
=
n
i=1
n
i
 ]

(Ⅲ)證明:由[x]的定義可知,
n
i
-1<[
n
i
]≤
n
i

所以
n
i=1
n
i
-n<
n
i=1
[
n
i
]≤
n
i=1
n
i
.所以
n
i=1
1
i
-1<f(n)≤
n
i=1
1
i

考查定積分
n
1
1
x
dx
,將區(qū)間[1,n]分成n-1等分,則
n
1
1
x
dx
的不足近似值為
n
i=2
1
i
,
n
1
1
x
dx
的過剩近似值為
n-1
i=1
1
i
. 所以
n
i=2
1
i
n
1
1
x
dx
n-1
i=1
1
i

所以
n
i=1
1
i
-1
<g(n)
n
i=1
1
i
.所以g(n)-1<
n
i=1
1
i
-1<f(n)
n
i=1
1
i
g(n)+1.
所以g(n)-1<f(n)<g(n)+1.
點評:本小題主要考查高階矩陣、矩陣的應用、定積分等基礎知識,考查運算求解能力,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•蕪湖二模)已知函數(shù)f(x)=
1
2
(x+
1
x
),x≥0
,an+1=f(an),對于任意的n∈N*,都有an+1<an
(Ⅰ)求a1的取值范圍;
(Ⅱ)若a1=
3
2
,證明an<1+
1
2n+1
(n∈N+,n≥2).
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下證明
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
-n<
2
+1.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

函數(shù)f(x)的定義域為R,數(shù)列{an}滿足an=f(an-1)(n∈N*且n≥2).
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(Ⅱ)若f(x)=kx(k>1),a1=2,bn=lnan(n∈N*),數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,對于給定的正整數(shù)m,如果
S(m+1)nSmn
的值與n無關,求k的值.

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(2013•閘北區(qū)一模)若數(shù)列{bn}滿足:對于n∈N*,都有bn+2-bn=d(常數(shù)),則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準等差數(shù)列.如:若cn=
4n-1,當n為奇數(shù)時
4n+9,當n為偶數(shù)時.
則{cn}是公差為8的準等差數(shù)列.
(1)求上述準等差數(shù)列{cn}的第8項c8、第9項c9以及前9項的和T9;
(2)設數(shù)列{an}滿足:a1=a,對于n∈N*,都有an+an+1=2n.求證:{an}為準等差數(shù)列,并求其通項公式;
(3)設(2)中的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S63>2012,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•東城區(qū)一模)對于n∈N*(n≥2),定義一個如下數(shù)陣:Ann=
a11a12a1n
a21a22a2n
an1an2ann

其中對任意的1≤i≤n,1≤j≤n,當i能整除j時,aij=1;當i不能整除j時,aij=0.
(Ⅰ)當n=4時,試寫出數(shù)陣A44
(Ⅱ)設t(j)=
n
i=1
aij=a1j+a2j+…+anj
.若[x]表示不超過x的最大整數(shù),
求證:
n
j=1
t(j)
=
n
i=1
n
i
 ]

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