【題目】如圖,在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中,平面平面ABCD,為等腰直角三角形,,點(diǎn)E,F分別為BC,PD的中點(diǎn),直線(xiàn)PC與平面AEF交于點(diǎn)Q.

(1)若平面平面,求證:.

(2)求直線(xiàn)AQ與平面PCD所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)

【解析】

(1)根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理證得平面,然后根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理證得.(2)先根據(jù)四點(diǎn)共面,結(jié)合向量的線(xiàn)性運(yùn)算,求得,也即求得位置.建立空間直角坐標(biāo)系,利用直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量,求得線(xiàn)面角的正弦值.

(1)證明:因?yàn)?/span>,平面PC平面PCD,

所以平面PCD.又因?yàn)?/span>平面PAB,平面平面,所以.

(2)解:連接PE.

因?yàn)?/span>

所以,

設(shè),則.

因?yàn)?/span>A,E,Q,F四點(diǎn)共面,

所以,解得,則.

AD的中點(diǎn)O,連接OC,OP,由題意可得OC,OD,OP兩兩垂直

如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè),則,,.

所以.

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為,

,令,得,即

所以,

所以.

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