已知橢圓4x2+y2=1及直線l:y=x+m.
(Ⅰ)當(dāng)m為何值時(shí),直線l與橢圓有公共點(diǎn)?
(Ⅱ)若直線l被橢圓截得的線段長為
4
2
5
,求直線的方程.
(Ⅲ)若直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),是否存在m的值,使得
OA
OB
=0
?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.
分析:(Ⅰ)聯(lián)立直線方程與橢圓方程,根據(jù)對(duì)應(yīng)方程的判別式大于等于0即可求出m的取值范圍;
(Ⅱ)聯(lián)立直線方程與橢圓方程,求出兩交點(diǎn)坐標(biāo)和直線的斜率之間的關(guān)系;再結(jié)合弦長公式即可求出直線的方程.
(Ⅲ)先聯(lián)立直線方程與橢圓方程,求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)和直線的斜率之間的關(guān)系;結(jié)合
OA
OB
=0
的對(duì)應(yīng)結(jié)論即可求出m的值.
解答:解:(Ⅰ)把直線y=x+m代入4x2+y2=1得
5x2+2mx+m2-1=0     ①…(1分)
∴△=4m2-20(m2-1)=-16m2+20≥0
-
5
2
≤m≤
5
2
…(2分)
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),
由①得
x1+x2=-
2m
5
x1x2=
m2-1
5
,…(3分)
∴(x1+x22-4x1x2=(-
2m
5
)2-
4(m2-1)
5
=
-16m2+20
25
…(4分)
|AB|=
(1+k)2[(x1+x2)2-4x1x2]
=
-16m2+20
25
=
4
2
5
…(5分)
解得m=±
1
2
…(6分)
∴所求直線方程為y=x±
1
2
.                                   …(7分)
(Ⅲ)設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),
由①得
x1+x2=-
2m
5
x1x2=
m2-1
5

若存在m的值,使得
OA
OB
=0
,則有x1x2+y1y2=0…(8分)y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=
4m2-1
5
…(9分)
m2-1
5
+
4m2-1
5
=0
,解得                                     …(10分)
又由(1)直線和橢圓有公共點(diǎn),需滿足-
5
2
≤m≤
5
2
…(11分)
10
5
5
2

∴存在m=±
10
5
滿足題意                                       …(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.解決問題的關(guān)鍵是看清題中給出的條件,靈活運(yùn)用韋達(dá)定理,弦長公式進(jìn)行求解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m.
(1)當(dāng)m為何值時(shí),直線與橢圓有公共點(diǎn)?
(2)若直線被橢圓截得的弦長為
2
10
5
,求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m.
(1)當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(2)求被橢圓截得的最長弦所在直線方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m
(1)m為何值時(shí),直線與橢圓有公共點(diǎn)?
(2)求直線被橢圓截得的最長弦所在的直線方程,并求弦長的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓4x2+y2-8kx-4ky+8k2-4=0(k為參數(shù)),存在一條直線,使得此直線被這些橢圓截得的線段長都等于
5
,求直線方程
y=2x±2
y=2x±2

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