已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m.
(1)當(dāng)m為何值時(shí),直線與橢圓有公共點(diǎn)?
(2)若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為
2
10
5
,求直線的方程.
分析:(1)將直線的方程y=x+m與橢圓的方程4x2+y2=1聯(lián)立,得到5x2+2mx+m2-1=0,利用△=-16m2+20≥0即可求得m的取值范圍;
(2)利用兩點(diǎn)間的距離公式,再借助于韋達(dá)定理即可得到:兩交點(diǎn)AB之間的距離∴|AB|=
(x2-x12+(y2-y12
=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
2[(-
2m
5
)
2
-4
m2-1
5
]
=
2
10
5
,從而可求得m的值.
解答:解:(1)把直線y=x+m代入橢圓方程得:4x2+(x+m)2=1
即:5x2+2mx+m2-1=0,
△=(2m)2-4×5×(m2-1)=-16m2+20≥0
解得:-
5
2
≤m≤
5
2

(2)設(shè)該直線與橢圓相交于兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是方程5x2+2mx+m2-1=0的兩根,由韋達(dá)定理可得:x1+x2=-
2m
5
x1x2=
m2-1
5
,
∴|AB|=
(x2-x12+(y2-y12
=
(x2-x1)2[1+(
y2-y1
x2-x1
2
]

=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
2[(-
2m
5
)
2
-4
m2-1
5
]
=
2
10
5

∴m=0.
∴直線的方程為y=x.
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系與弦長(zhǎng)問(wèn)題,難點(diǎn)在于弦長(zhǎng)公式的靈活應(yīng)用,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m.
(1)當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(2)求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在直線方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m
(1)m為何值時(shí),直線與橢圓有公共點(diǎn)?
(2)求直線被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程,并求弦長(zhǎng)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓4x2+y2=1及直線l:y=x+m.
(Ⅰ)當(dāng)m為何值時(shí),直線l與橢圓有公共點(diǎn)?
(Ⅱ)若直線l被橢圓截得的線段長(zhǎng)為
4
2
5
,求直線的方程.
(Ⅲ)若直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),是否存在m的值,使得
OA
OB
=0
?若存在,求出m的值;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓4x2+y2-8kx-4ky+8k2-4=0(k為參數(shù)),存在一條直線,使得此直線被這些橢圓截得的線段長(zhǎng)都等于
5
,求直線方程
y=2x±2
y=2x±2

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