Question

已知橢圓4x²+y²=1及直線y=x+m．
（1）當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）求被橢圓截得的最長弦所在直線方程．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，直線方程與橢圓方程構(gòu)成的方程組有解，等價(jià)于消掉y后得到x的二次方程有解，故△≥0，解出即可；
（2）設(shè)所截弦的兩端點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（1）及韋達(dá)定理可把弦長|AB|表示為關(guān)于m的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)表達(dá)式易求弦長最大時(shí)m的值；

解答：解：（1）由

4x2+y2=1 y=x+m

得5x²+2mx+m²-1=0，
當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，△=4m²-4×5（m²-1）≥0，即-4m²+5≥0，
解得-

5

2

≤m≤

5

2

，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是-

5

2

≤m≤

5

2

；
（2）設(shè)所截弦的兩端點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）知，x1+x2=-

2m

5

，x1x2=

m2-1

5

，
所以弦長|AB|=

2

|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

(- 2m 5 )2- 4(m2-1) 5

=

2 2 • 5-4m2

5

，
當(dāng)m=0時(shí)|AB|最大，此時(shí)所求直線方程為y=x．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查函數(shù)與方程思想，弦長公式、韋達(dá)定理是解決該類題目的基礎(chǔ)知識，應(yīng)熟練掌握．