【題目】如圖,在四棱錐中,底面是菱形,,且平面,,M,N分別為,的中點(diǎn).
(1)記平面與底面的交線為l,試判斷直線l與平面的位置關(guān)系,并證明.
(2)點(diǎn)Q在棱上,若Q到平面的距離為,求線段的長.
【答案】(1)直線平面,證明見解析.(2).
【解析】
(1)連接,可由線面平行判定定理證明平面,再由線面平行性質(zhì)及平行線的傳遞性證明直線與平面平行即可.
(2)以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),并設(shè),,結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算可用表示的坐標(biāo),并求得平面的法向量.根據(jù)條件及點(diǎn)到平面距離的向量求法,即可確定的值,進(jìn)而求得線段的長.
(1)直線與平面平行,證明如下:
連接,如下圖所示:
M,N分別為,的中點(diǎn),
則由中位線定理可得,
因?yàn)?/span>平面,平面,
所以平面,
平面與底面的交線為,
由線面平行的性質(zhì)可得,
又因?yàn)?/span>,
則由平行線傳遞性可得
因?yàn)?/span>,且平面,平面,
所以直線平面.
(2)根據(jù)題意,以A為原點(diǎn),建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系:
則設(shè),,(),
所以
解得,所以
則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,
則
設(shè)平面的法向量為,
則,即
所以,令,代入解得.
即
而,
所以Q到平面的距離,
解得,因?yàn)?/span>,
所以.
所以
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若不等式時(shí)恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)且
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;
(2)定義在R上的函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),。若存在滿足不等式且是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為,是橢圓上的一個(gè)動點(diǎn),且面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線斜率為,且與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,是否存在點(diǎn),使得若存在,求的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,過拋物線上的一點(diǎn)作拋物線的切線,分別交x軸于點(diǎn)D交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)Q在拋物線上,點(diǎn)E,F分別在線段AQ,BQ上,且滿足,,線段QD與交于點(diǎn)P.
(1)當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C上,且時(shí),求直線的方程;
(2)當(dāng)時(shí),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,點(diǎn)是線段上的動點(diǎn),則下列說法錯(cuò)誤的是( )
A. 當(dāng)點(diǎn)移動至中點(diǎn)時(shí),直線與平面所成角最大且為
B. 無論點(diǎn)在上怎么移動,都有
C. 當(dāng)點(diǎn)移動至中點(diǎn)時(shí),才有與相交于一點(diǎn),記為點(diǎn),且
D. 無論點(diǎn)在上怎么移動,異面直線與所成角都不可能是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】時(shí)值金秋十月,正是秋高氣爽,陽光明媚的美好時(shí)刻。復(fù)興中學(xué)一年一度的校運(yùn)會正在密鑼緊鼓地籌備中,同學(xué)們也在熱切地期盼著,都想為校運(yùn)會出一份力。小智同學(xué)則通過對學(xué)校有關(guān)部門的走訪,隨機(jī)地統(tǒng)計(jì)了過去許多年中的五個(gè)年份的校運(yùn)會“參與”人數(shù)及相關(guān)數(shù)據(jù),并進(jìn)行分析,希望能為運(yùn)動會組織者科學(xué)地安排提供參考。
附:①過去許多年來學(xué)校的學(xué)生數(shù)基本上穩(wěn)定在3500人左右;②“參與”人數(shù)是指運(yùn)動員和志愿者,其余同學(xué)均為“啦啦隊(duì)員”,不計(jì)入其中;③用數(shù)字1、2、3、4、5表示小智同學(xué)統(tǒng)計(jì)的五個(gè)年份的年份數(shù),今年的年份數(shù)是6;
統(tǒng)計(jì)表(一)
年份數(shù)x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
“參與”人數(shù)(y千人) | 1.9 | 2.3 | 2.0 | 2.5 | 2.8 |
統(tǒng)計(jì)表(二)
高一(3)(4)班參加羽毛球比賽的情況:
男生 | 女生 | 小計(jì) | |
參加(人數(shù)) | 26 | b | 50 |
不參加(人數(shù)) | c | 20 | |
小計(jì) | 44 | 100 |
(1)請你與小智同學(xué)一起根據(jù)統(tǒng)計(jì)表(一)所給的數(shù)據(jù),求出“參與”人數(shù)y關(guān)于年份數(shù)x的線性回歸方程,并預(yù)估今年的校運(yùn)會的“參與”人數(shù);
(2)學(xué)校命名“參與”人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分之八十及以上的年份為“體育活躍年”.如果該校每屆校運(yùn)會的“參與”人數(shù)是互不影響的,且假定小智同學(xué)對今年校運(yùn)會的“參與”人數(shù)的預(yù)估是正確的,并以這6個(gè)年份中的“體育活躍年”所占的比例作為任意一年是“體育活躍年”的概率,F(xiàn)從過去許多年中隨機(jī)抽取9年來研究,記這9年中“體活躍年”的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量,試求隨機(jī)變量的分布列、期望和方差;
(3)根據(jù)統(tǒng)計(jì)表(二),請問:你能否有超過60%的把握認(rèn)為“羽毛球運(yùn)動”與“性別”有關(guān)?
參考公式和數(shù)據(jù)一:,,,
參考公式二:,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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