Question

【題目】函數(shù)且

（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）定義在R上的函數(shù)滿足，當時，。若存在滿足不等式且是函數(shù)的一個零點，求實數(shù)a的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）將代入，求其導函數(shù)，得的值，進而可得切線方程。

（2）構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)已知得到其是奇函數(shù)，求導可得在上的單調(diào)性，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，利用的單調(diào)性解該不等式，可求得的范圍，即的零點的范圍，轉(zhuǎn)化為在的范圍上有零點，利用導數(shù)知識和零點存在性定理，可求出a的取值范圍。

解：（1）當時，因為

所以，

所以，

又，所以函數(shù)在點處的切線方程為，

即

（2）令，因為，

所以，

所以為奇函數(shù)。

當時，，

所以在上單調(diào)遞減，

所以在R上單調(diào)遞減，

又滿足不等式，即，

所以，

化簡得，所以，即

令

因為是函數(shù)的一個零點，

所以在時有一個零點：

當時，，

所以在上單調(diào)遞減，

又，又因為，

所以要使在時有一個零點，只需，解得，

所以實數(shù)a的取值范圍為