Question

某市現(xiàn)有自市中心O通往正西和東北方向的兩條主要公路,為了解決交通擁擠問題,市政府決定修一條環(huán)城路,分別在通往正西和東北方向的公路上選取A、B兩點(diǎn),使環(huán)城公路在A、B間為線段,要求AB環(huán)城路段與中心O的距離為10 km,且使A、B間的距離|AB|最小,請你確定A、B兩點(diǎn)的最佳位置(不要求作近似計(jì)算).

Answer 1

解：以O(shè)為原點(diǎn),正東方向?yàn)閤軸的正半軸,正北方向?yàn)閥軸的正半軸,建立如圖所示的坐標(biāo)系.

設(shè)A(-a,0)、B(b,b)(其中a＞0,b＞0),

    則AB的方程為=,

    即bx-(a+b)y+ab=0.

    ∵10=,

    ∴a²b²=100(a²+2b²+2ab)

    ≥100(2+2ab)

    =200(1+)ab.

    ∵ab＞0,∴ab≥200(+1),

    當(dāng)且僅當(dāng)“a²=2b²”時(shí)等號成立.

    而|AB|==,

    ∴|AB|≥20(+1).

    當(dāng)

    即時(shí),|AB|取最小值,此時(shí)|OA|=a=10,

    |OB|=10,

    ∴A、B兩點(diǎn)的最佳位置是離市中心O均為10 km處.