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某市現有自市中心O通往正西和東北方向的兩條主要公路,為了解決交通擁擠問題,市政府決定修一條環(huán)城路,分別在通往正西和東北方向的公路上選取A、B兩點,使環(huán)城公路在A、B間為線段,要求AB環(huán)城路段與中心O的距離為10 km,且使A、B間的距離|AB|最小,請你確定A、B兩點的最佳位置(不要求作近似計算)
分析:先以O為原點,正東方向為x軸的正半軸,正北方向為y軸的正半軸,建立直角坐標系.設A(-a,0)、B(b,b),則可得直線AB的方程,再根據點到直線的距離公式可得a2b2=100(a2+2b2+2ab),進而求得ab的范圍,再根據兩點間的距離求得|AB|=
ab
10
,進而可得|AB|的范圍及最小值.當|AB|取最小值時可求得a,b的值,進而求出|OA|和|OB|,確定A,B的位置.
解答:精英家教網解:以O為原點,正東方向為x軸的正半軸,正北方向為y軸的正半軸,建立如下圖所示的坐標系.
設A(-a,0)、B(b,b)(其中a>0,b>0),
則AB的方程為y=
b
a+b
•x+
ab
a+b
,
即bx-(a+b)y+ab=0.
∴a2b2=100(a2+2b2+2ab)≥100(2
a2•2b2
+2ab)
=200(1+
2
)ab.
∵ab>0,
∴ab≥200(
2
+1).
當且僅當“a2=2b2”時等號成立,
而|AB|=
(b+a)2+b2
=
ab
10
,
∴|AB|≥20(
2
+1).
當a2=2b2,
ab=10
2b2+a2+2ab

時,|AB|取最小值,
即a=10
2(2+
2
)

b=10
2+
2

此時|OA|=a=10
2(2+
2
)

|OB|=10
2(2+
2
)
,
∴A、B兩點的最佳位置是離市中心O均為10
2(2+
2
)
km處.
點評:本題主要考查了平面幾何的性質在實際中的應用.要熟練掌握點與直線、直線與直線、直線與曲線的關系.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖某市現有自市中心O通往正西和北偏東30°方向的兩條主要公路,為了解決該市交通擁擠問題,市政府決定修建一條環(huán)城公路.分別在通往正西和北偏東30°方向的公路上選用A、B兩點,使環(huán)城公路在A、B間為直線段,要求AB路段與市中心O的距離為10km,且使A、B間的距離|AB|最。埬愦_定A、B兩點的最佳位置.

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科目:高中數學 來源:2011-2012學年廣東省高三上學期11月月考文科數學 題型:解答題

(本小題滿分12分)

如圖某市現有自市中心O通往正西和北偏東30°方向的兩條主要公路,為了解決該市交通擁擠問題,市政府決定修建一條環(huán)城公路.分別在通往正西和北偏東30°方向的公路上選用A、B兩點,使環(huán)城公路在A、B間為直線段,要求AB路段與市中心O的距離為10 km,且使A、B間的距離|AB|最。埬愦_定A、B兩點的最佳位置.

 

 

 

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