正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長等于2,E,F(xiàn)分別是B′D′,AC的中點.求:
(1)直線AB′和平面ACD′所成角的正弦值;
(2)二面角B′-CD′-A的余弦值;
(3)點B到平面ACD′的距離.
考點:點、線、面間的距離計算,與二面角有關的立體幾何綜合題
專題:計算題,空間位置關系與距離
分析:(1)建立空間直角坐標系,求出平面ACD'的一個法向量,利用向量的夾角公式,即可求直線AB′和平面ACD′所成角的正弦值;
(2)求出平面B'CD'的一個法向量,利用向量的夾角公式,即可求二面角B′-CD′-A的余弦值;
(3)點B到平面ACD'的距離d=|
BD′
n
|
n
|
|=
2
3
3
解答: 解:如圖建立空間直角坐標系O-xyz,
∵正方體的棱長等于2,E,F(xiàn)分別是B'D',AC的中點,
∴A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D'(0,0,2),B'(2,2,2),E(1,1,2),F(xiàn)(1,1,0).
(1)
AD′
=(-2,0,2),
AC
=(-2,2,0)
AB′
=(0,2,2)

n
=(x′,y′,z′)
是平面ACD'的一個法向量,則
n
AD′
=0
n
AC
=0
(x′,y′,z′)•(-2,0,2)=0
(x′,y′,z′)•(-2,2,0)=0
z′=x′
y′=x′
,
取x'=1,得平面ACD'的一個法向量
n
=(1,1,1)
,
設直線AB'和平面ACD'所成角的大小為θ,則sinθ=|
n
AB′
|
n
|•|
AB′
|
|=|
(1,1,1)•(0,2,2)
3
8
|=
6
3

∴直線AB'和平面ACD'所成角的正弦值是
6
3

(2)
D′B′
=(2,2,0),
D′C
=(0,2,-2)
,
m
=(x0,y0z0)
是平面B'CD'的一個法向量,則
m
D′B′
=0
m
D′C
=0
x0=-y0
z0=y0
,取y0=1得平面B'CD'的一個法向量
m
=(-1,1,1)

cosθ=
n
m
|
n
|•|
m
|
=
(1,1,1)•(-1,1,1)
3
3
=
1
3
,
故二面角B'-CD'-A的余弦值是
1
3

(3)∵
BD′
=(-2,-2,2)
,平面ACD'的一個法向量
n
=(1,1,1)
,
∴點B到平面ACD'的距離d=|
BD′
n
|
n
|
|=
2
3
3
點評:本題考查空間向量的運用,考查線面角,面面角,考查點到面的距離,考查學生的計算能力,難度中等.
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π
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C、
4
D、
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m
x
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π
6
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1
2
DB
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1
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1
b3
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已知f(x)=
(
1
2
)
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