Question

已知f（x）=

( 1 2 )x，x＜0 3x，x≥0

（1）若存在實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）≤m，求m的取值范圍；
（2）若x₁≠x₂且f（x₁）=f（x₂），求證：x₁+x₂＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若存在實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）≤m，即f（x）_min≤m，分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最小值，即可得到m的取值范圍；
（2）證法一：分析函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)x₁≠x₂且f（x₁）=f（x₂），令g（x）=f（-x），xx₁＜0＜x₂，分析g出g（-x₁）＜f（-x₁），進(jìn)而可得結(jié)論；
證法二：分析函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)x₁≠x₂且f（x₁）=f（x₂），令g（x）=f（-x），xx₁＜0＜x₂，判斷出

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

＞0，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答： 解：（1）因?yàn)椋?span id="mrsva9p" class="MathJye">

1

2

）^x在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
故x＜0時(shí)，f（x）∈（1，+∞）；
因?yàn)?^x在[0，+∞）上單調(diào)遞增，故x≥0時(shí)，f（x）∈[1，+∞），
故f（x）的值域?yàn)閇1，+∞），
因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）≤m，
故m≥1，
所以m的取值范圍是[1，+∞）；
（2）證法一：因?yàn)?I>x₁≠x₂且f（x₁）=f（x₂）
而f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
故不妨設(shè)x₁＜0＜x₂，則-x₁＞0，
設(shè)g（x）=f（-x），故x＞0時(shí)，
f（x）-g（x）=3^x-（

1

2

）^-x=3^x-2^x＞0
所以f（x₂）=f（x₁）=g（-x₁）＜f（-x₁），
又f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以x₂＜-x₁，
即x₁+x₂＜0．
證法二：因?yàn)?I>x₁≠x₂且f（x₁）=f（x₂）
而f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
故不妨設(shè)x₁＜0＜x₂，
設(shè)f（x₁）=f（x₂）=a，由（1）知，a＞1，
故x₁=log

1

2

a，x₂=log₃a，
所以

1

x1

+

1

x2

=log_a

1

2

+log_a3=log_a

3

2

＞0
即

x1+x2

x1x2

＞0，又x₁x₂＜0，
所以x₁+x₂＜0．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，存在性問題，函數(shù)的最值，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．