【題目】在如圖所示的直三棱柱中,,分別是,的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若,,,求直線(xiàn)與平面所成角的正切值.
【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析(Ⅱ)
【解析】
試題分析:(Ⅰ)取中點(diǎn),連接,.,推導(dǎo)出,從而平面.
;再推導(dǎo)出平面,進(jìn)而平面平面.由此能證明平面.(Ⅱ)取的中點(diǎn),連接,,可推導(dǎo)出平面平面,點(diǎn)在平面上的射影在上,所以即為直線(xiàn)與平面所成角,由此能求出直線(xiàn)與平面所成角的正切值.
試題解析:
(Ⅰ)取中點(diǎn),連接,.
在中,因?yàn)?/span>,分別為,的中點(diǎn),所以,平面,平面,所以平面.
在矩形中,因?yàn)?/span>,分別為,的中點(diǎn),
所以,平面,平面,所以平面.
因?yàn)?/span>,所以平面平面.
因?yàn)?/span>平面,故 平面;
(Ⅱ)因?yàn)槿庵?/span>為直三棱柱,所以,
又,,所以平面.
因?yàn)?/span>,,所以,
又,所以為正三角形,
所以,所以.
取的中點(diǎn),連接,,所以,,所以平面,
所以平面平面,點(diǎn)在平面上的射影在上,
所以即為直線(xiàn)與平面所成角.
在中,,所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓,離心率為,兩焦點(diǎn)分別為,過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn),且的周長(zhǎng)為8.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程.
已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為,求直線(xiàn)被曲線(xiàn)截得的弦長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我們用圓的性質(zhì)類(lèi)比球的性質(zhì)如下:
①p:圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線(xiàn)垂直于弦; q:球心與小圓截面圓心的連線(xiàn)垂直于截面.
②p:與圓心距離相等的兩條弦長(zhǎng)相等; q:與球心距離相等的兩個(gè)截面圓的面積相等.
③p:圓的周長(zhǎng)為C=πd(d是圓的直徑); q:球的表面積為S=πd2(d是球的直徑).
④p:圓的面積為S=R·πd(R,d是圓的半徑與直徑); q:球的體積為V=R·πd2(R,d是球的半徑與直徑).
則上面的四組命題中,其中類(lèi)比得到的q是真命題的有( )個(gè)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2015年7月9日21時(shí)15分,臺(tái)風(fēng)“蓮花”在我國(guó)廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸,造成165.17萬(wàn)人受災(zāi), 5.6萬(wàn)人緊急轉(zhuǎn)移安置,288間房屋倒塌,46.5千公頃農(nóng)田受災(zāi),直接經(jīng)濟(jì)損失12.99億元,距離陸豐市222千米的梅州也受到了臺(tái)風(fēng)的影響,適逢暑假,小明調(diào)查了梅州某小區(qū)的50戶(hù)居民由于臺(tái)風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失,將收集的數(shù)據(jù)分成, , , , 五組,并作出如下頻率分布直方圖(圖1):
(1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)小區(qū)平均每戶(hù)居民的平均損失;
(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)小明向班級(jí)同學(xué)發(fā)出倡議,為該小區(qū)居民捐款,現(xiàn)從損失超過(guò)6000元的居民中隨機(jī)
抽出2戶(hù)進(jìn)行捐款援助,求抽出的2戶(hù)居民損失均超過(guò)8000元的概率;
(3)臺(tái)風(fēng)后區(qū)委會(huì)號(hào)召該小區(qū)居民為臺(tái)風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款,小明調(diào)查的50戶(hù)居民捐款情況如下表,
在圖2表格空白外填寫(xiě)正確數(shù)字,并說(shuō)明是否有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額超過(guò)或
不超過(guò)500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否超過(guò)4000元有關(guān)?
經(jīng)濟(jì)損失不超過(guò)4000元 | 經(jīng)濟(jì)損失超過(guò)4000元 | 合計(jì) | |
捐款超過(guò)500元 | 30 | ||
捐款不超過(guò)500元 | 6 | ||
合計(jì) |
附:臨界值參考公式: , .
0.15 | 0.10 | 0.05 /td> | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),( )
(1)若,求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程.
(2)對(duì)任意,總存在,使得(其中為的導(dǎo)數(shù))成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠于2016年下半年對(duì)生產(chǎn)工藝進(jìn)行了改造(每半年為一個(gè)生產(chǎn)周期),從2016年一年的產(chǎn)品中用隨機(jī)抽樣的方法抽取了容量為50的樣本,用莖葉圖表示(如圖).已知每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)與其中位數(shù)誤差在±5范圍內(nèi)(含±5)的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品,與中位數(shù)誤差在±15范圍內(nèi)(含±15)的產(chǎn)品為合格品(不包括優(yōu)質(zhì)品),與中位數(shù)誤差超過(guò)±15的產(chǎn)品為次品.企業(yè)生產(chǎn)一件優(yōu)質(zhì)品可獲利潤(rùn)20元,生產(chǎn)一件合格品可獲利潤(rùn)10元,生產(chǎn)一件次品要虧損10元
(Ⅰ)求該企業(yè)2016年一年生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為10的概率;
(Ⅱ)是否有95%的把握認(rèn)為“優(yōu)質(zhì)品與生產(chǎn)工藝改造有關(guān)”.
附:
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
K2=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,離心率,點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn),線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與軸交于點(diǎn),求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍;
(3)在第(2)問(wèn)的條件下,求面積的最大值.
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