【題目】如果在一條平面曲線上存在四點,使得這四點構成的圖形是一個菱形則稱該曲線存在內接菱形現(xiàn)已知雙曲線,雙曲線,其中,證明在雙曲線中有且僅有一條存在內接菱形

【答案】見解析

【解析】

先證如下兩個引理.

引理1 若雙曲線存在內接菱形,則該菱形的中心必是原點.

不妨設雙曲線上存在內接菱形,其坐標分別為、、,對角線的交點為

若直線(或)平行軸,則(或)必為軸.易知此時、、四點不滿足題意.故直線的斜率均存在,設為、

,

兩式相減,得,即

由上式知,若、中有一個為零時,則兩個均為零.

、均不為零,則可得

同理,可得

上面兩式相乘,得

這是不可能的.故總有成立.

引理2 雙曲線存在內接菱形的充要條件是

如圖,分別是雙曲線的兩條漸近線.

若四邊形是其內接菱形,

則必有、,且,即

故必有,即

反之,當時,易知在該雙曲線上必存在一個中心為原點的內接菱形.引理2得證.

下面利用上述兩個引理來證明原題.

由于為一對共軛雙曲線,且,故當時,知上存在內接菱形,而上不存在;

時,知上存在內接菱形,而上不存在.

故雙曲線上有且僅有一條上存在內接菱形.

練習冊系列答案
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不小于40

小于40

合計

單車用戶

12

y

m

非單車用戶

x

32

70

合計

n

50

100

1)求出列聯(lián)表中字母x、ym、n的值;

2)①從此樣本中,對單車用戶按年齡采取分層抽樣的方法抽出5人進行深入調研,其中不小于40歲的人應抽多少人?

②從獨立性檢驗角度分析,能否有以上的把握認為該市成人市民是否為單車用戶與年齡是否小于40歲有關.

下面臨界值表供參考:

P

0.15

0.10

0.05

0.25

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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2沒有任何三個平面相交于一條直線;

3平面間的任意兩條交線都不平行;

4平面間的每一條交線均與個平面相交.

其中,正確的各數(shù)為( ).

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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(2)求展開式中所有二項式系數(shù)的和;

(3)求展開式中所有的有理項.

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求甲在4局以內(含4局)贏得比賽的概率;

為比賽決出勝負時的總局數(shù),求的分布列和均值(數(shù)學期望).

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