已知曲線上任意一點到直線的距離是它到點距離的倍；曲線是以原點為頂點，為焦點的拋物線.
(Ⅰ)求,的方程；
(Ⅱ)過作兩條互相垂直的直線,其中與相交于點,與相交于點,求四邊形面積的取值范圍.

(Ⅰ),；(Ⅱ).

解析試題分析：(Ⅰ)求 曲線，則設(shè)該曲線上某點，然后根據(jù)題目條件，得到關(guān)于的方程，再化簡即可得到.曲線可以根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)得到，為拋物線焦點，從而得到；(Ⅱ)用點斜式設(shè)出的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，即可得到關(guān)于點坐標的方程.再根據(jù)韋達定理即得到的長度.由題意可設(shè)的方程為,代入可得關(guān)于點坐標的方程.再根據(jù)韋達定理即得到的長度.因為，從而四邊形的面積為，經(jīng)化簡，通過基本不等式即可得到四邊形面積的取值范圍為.
試題解析：(Ⅰ)設(shè)，則由題意有,化簡得:.
故的方程為，易知的方程為.                      4分
(Ⅱ)由題意可設(shè)的方程為,代入得,
設(shè),則,
所以.           7分
因為,故可設(shè)的方程為,代入得
,設(shè),則,
所以.   10分
故四邊形的面積為

()
設(shè)，因此
,當且僅當即等號成立.
故四邊形面積的取值范圍為.                               13分
考點：1.曲線與方程；2.拋物線的幾何性質(zhì)；3.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；4.基本不等式；5.函數(shù)的單調(diào)性.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

給定橢圓C：，若橢圓C的一個焦點為F(，0)，其短軸上的一個端點到F的距離為．
(I)求橢圓C的方程；
(II)已知斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，點Q滿足且=0，其中N為橢圓的下頂點，求直線在y軸上截距的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別為的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點。
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線與橢圓及雙曲線都恒有兩個不同的交點，且L與的兩個焦點A和B滿足（其中O為原點），求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點,離心率,右焦點為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓的上頂點為,在橢圓上是否存在點,使得向量與共線?若存在,求直線的方程;若不存在,簡要說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知、分別是橢圓的左、右焦點，右焦點到上頂點的距離為2，若.
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）點是橢圓的右頂點，直線與橢圓交于、兩點（在第一象限內(nèi)），又、是此橢圓上兩點，并且滿足，求證：向量與共線.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的焦點為，，且經(jīng)過點.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)過的直線與橢圓交于、兩點，問在橢圓上是否存在一點，使四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓過點，且離心率。
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），橢圓的右頂點為D，且滿足，試判斷直線是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線y2=－x與直線y=k(x+1)交于A、B兩點.
（1）求證：OA⊥OB；
（2）當DAOB的面積等于時，求k的值. 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知一個圓的圓心為坐標原點，半徑為.從這個圓上任意一點向軸作垂線，為垂足.
（Ⅰ）求線段中點的軌跡方程；
（Ⅱ）已知直線與的軌跡相交于兩點，求的面積

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