已知、分別是橢圓的左、右焦點,右焦點到上頂點的距離為2,若.
(Ⅰ)求此橢圓的方程;
(Ⅱ)點是橢圓的右頂點,直線與橢圓交于、兩點(在第一象限內(nèi)),又、是此橢圓上兩點,并且滿足,求證:向量與共線.
(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.
解析試題分析:(Ⅰ)求此橢圓的方程,由題意到上頂點的距離為2,即,,再由,即可求出,從而得橢圓的方程;(Ⅱ)求證:向量與共線,即證,由于點是橢圓的右頂點,可得,直線與橢圓交于、兩點(在第一象限內(nèi)),可由,解得,得,只需求出直線的斜率,由題意,而與的平分線平行,可得的平分線垂直于軸,設(shè)的斜率為,則的斜率;因此和的方程分別為:、;其中;分別代入橢圓方程,得的表達式,從而可得直線的斜率,從而可證.
試題解析:(Ⅰ)由題知:
(Ⅱ)因為:,從而與的平分線平行,
所以的平分線垂直于軸;
由不妨設(shè)的斜率為,則的斜率;因此和的方程分別為:、;其中; 由得;,因為在橢圓上;所以是方程的一個根;
從而; 同理:;得,
從而直線的斜率;又、;所以;所以所以向量與共線.
考點:橢圓方程,直線與橢圓位置關(guān)系.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓:的離心率為,右焦點為,右頂點在圓:上.
(Ⅰ)求橢圓和圓的方程;
(Ⅱ)已知過點的直線與橢圓交于另一點,與圓交于另一點.請判斷是否存在斜率不為0的直線,使點恰好為線段的中點,若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知拋物線的頂點在坐標原點,焦點為,點是點關(guān)于軸的對稱點,過點的直線交拋物線于兩點。
(Ⅰ)試問在軸上是否存在不同于點的一點,使得與軸所在的直線所成的銳角相等,若存在,求出定點的坐標,若不存在說明理由。
(Ⅱ)若的面積為,求向量的夾角;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖所示,已知圓為圓上一動點,點是線段的垂直平分線與直線的交點.
(1)求點的軌跡曲線的方程;
(2)設(shè)點是曲線上任意一點,寫出曲線在點處的切線的方程;(不要求證明)
(3)直線過切點與直線垂直,點關(guān)于直線的對稱點為,證明:直線恒過一定點,并求定點的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知曲線上任意一點到直線的距離是它到點距離的倍;曲線是以原點為頂點,為焦點的拋物線.
(Ⅰ)求,的方程;
(Ⅱ)過作兩條互相垂直的直線,其中與相交于點,與相交于點,求四邊形面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知雙曲線,、是雙曲線的左右頂點,是雙曲線上除兩頂點外的一點,直線與直線的斜率之積是,
求雙曲線的離心率;
若該雙曲線的焦點到漸近線的距離是,求雙曲線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在直角坐標系中,為坐標原點,如果一個橢圓經(jīng)過點P(3,),且以點F(2,0)為它的一個焦點.
(1)求此橢圓的標準方程;
(2)在(1)中求過點F(2,0)的弦AB的中點M的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標系中,點為動點,、分別為橢圓的左、右焦點.已知為等腰三角形.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)直線與橢圓相交于、兩點,是直線上的點,滿足,求點的軌跡
方程.
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