已知正項數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=1+
an1+an
(n∈N*)．用數(shù)學歸納法證明：an＜an+1(n∈N*)．
分析：直接利用數(shù)學歸納法的證明步驟，通過n=1驗證不等式成立；假設n=k時不等式成立，證明n=k+1時不等式也成立即可．
解答：證明：當n=1時，a2=1+
a1
1+a1
=
3
2
，a1＜a2，所以n=1時，不等式成立．
假設n=k（k∈N*）時，ak＜ak+1成立，則n=k+1時，
ak+2-ak+1= 1+
ak+1
1+ak+1
-ak+1
=1+
ak+1
1+ak+1
-(1+
ak
1+ak
)
=
ak
1+ak
-
ak+1
1+ak+1

=
ak+1-ak
(1+ak+1)(1+ak)
＞0；
即ak+2-ak+1＞0，
所以n=k+1時，不等式也成立．
綜上所述，不等式an＜an+1(n∈N*)成立．
點評：本題考查數(shù)列與不等式的證明，考查數(shù)學歸納法證明步驟的應用，注意證明n=k+1時必須用上假設，考查邏輯推理能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}滿足：a1=3，（2n-1）an+2=（2n+1）an-1+8n2（n＞1，n∈N*）
（1）求證：數(shù)列{
an
2n+1
}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項an．
（2）設bn=
1
an
，求數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，并求Sn的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義：稱
n
a1+a2+…+an
為n個正數(shù)a1，a2，…，an的“均倒數(shù)”，已知正項數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為
1
2n
，則
lim
n→∞
nan
sn
（　　）
A、0
B、1
C、2
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正項數(shù)列an中，a1=2，點(
an
，an+1)在函數(shù)y=x2+1的圖象上，數(shù)列bn中，點（bn，Tn）在直線y=-
1
2
x+3上，其中Tn是數(shù)列bn的前項和．（n∈N+）．
（1）求數(shù)列an的通項公式；
（2）求數(shù)列bn的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an2+2an（n∈N+），令bn=log2（an+1）．
（1）求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
（2）記Tn為數(shù)列{
1
log2bn+1•log2bn+2
}的前n項和，是否存在實數(shù)a，使得不等式Tn＜log0.5(a2-
1
2
a)對?n∈N+恒成立？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}，Sn=
1
8
(an+2)2
（1）求證：{an}是等差數(shù)列；
（2）若bn=
1
2
an-30，求數(shù)列{bn}的前n項和．

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