【題目】(本小題滿分14分)
已知拋物線的焦點(diǎn)為, 為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn),過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn),交軸的正半軸于點(diǎn),且有.當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí), 為正三角形.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若直線,且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn),
(ⅰ)證明直線過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo);
(ⅱ)的面積是否存在最小值?若存在,請求出最小值;若不存在,請說明理由.
【答案】(I).(II)(ⅰ)直線AE過定點(diǎn).(ⅱ)的面積的最小值為16.
【解析】試題分析:(I)由拋物線的定義知,
解得或(舍去).得.拋物線C的方程為.
(II)(ⅰ)由(I)知,
設(shè),
可得,即,直線AB的斜率為,
根據(jù)直線和直線AB平行,可設(shè)直線的方程為,
代入拋物線方程得,
整理可得,
直線AE恒過點(diǎn).
注意當(dāng)時(shí),直線AE的方程為,過點(diǎn),
得到結(jié)論:直線AE過定點(diǎn).
(ⅱ)由(ⅰ)知,直線AE過焦點(diǎn),
得到,
設(shè)直線AE的方程為,
根據(jù)點(diǎn)在直線AE上,
得到,再設(shè),直線AB的方程為,
可得,
代入拋物線方程得,
可求得, ,
應(yīng)用點(diǎn)B到直線AE的距離為 .
從而得到三角形面積表達(dá)式,應(yīng)用基本不等式得到其最小值.
試題解析:(I)由題意知
設(shè),則FD的中點(diǎn)為,
因?yàn)?/span>,
由拋物線的定義知: ,
解得或(舍去).
由,解得.
所以拋物線C的方程為.
(II)(ⅰ)由(I)知,
設(shè),
因?yàn)?/span>,則,
由得,故,
故直線AB的斜率為,
因?yàn)橹本和直線AB平行,
設(shè)直線的方程為,
代入拋物線方程得,
由題意,得.
設(shè),則, .
當(dāng)時(shí), ,
可得直線AE的方程為,
由,
整理可得,
直線AE恒過點(diǎn).
當(dāng)時(shí),直線AE的方程為,過點(diǎn),
所以直線AE過定點(diǎn).
(ⅱ)由(ⅰ)知,直線AE過焦點(diǎn),
所以,
設(shè)直線AE的方程為,
因?yàn)辄c(diǎn)在直線AE上,
故,
設(shè),
直線AB的方程為,
由于,
可得,
代入拋物線方程得,
所以,
可求得, ,
所以點(diǎn)B到直線AE的距離為
.
則的面積,
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立.
所以的面積的最小值為16.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分14分)如圖,我市有一個(gè)健身公園,由一個(gè)直徑為2km的半圓和一個(gè)以為斜邊的等腰直角三角形構(gòu)成,其中為的中點(diǎn).現(xiàn)準(zhǔn)備在公園里建設(shè)一條四邊形健康跑道,按實(shí)際需要,四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)分別在線段上,另外兩個(gè)頂點(diǎn)在半圓上, ,且間的距離為1km.設(shè)四邊形的周長為km.
(1)若分別為的中點(diǎn),求長;
(2)求周長的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某社區(qū)居民的家庭年收入所年支出的關(guān)系,隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭,得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表:
收入x (萬元) | 8.2 | 8.6 | 10.0 | 11.3 | 11.9 |
支出y (萬元) | 6.2 | 7.5 | 8.0 | 8.5 | 9.8 |
據(jù)上表得回歸直線方程 = x+ ,其中 =0.76, = ﹣ ,據(jù)此估計(jì),該社區(qū)一戶收入為15萬元家庭年支出為( )
A.11.4萬元
B.11.8萬元
C.12.0萬元
D.12.2萬元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{}中, ,且對任意正整數(shù)都成立,數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn。
(1)若,且,求a;
(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使數(shù)列{}是公比不為1的等比數(shù)列,且任意相鄰三項(xiàng)按某順序排列后成等差數(shù)列,若存在,求出所有k值,若不存在,請說明理由;
(3)若。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD= AD.
(1)求證:平面PAB⊥平面PDC
(2)在線段AB上是否存在一點(diǎn)G,使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值為 .若存在,求 的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+ ,曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸.
(1)求f(x)的最小值;
(2)比較f(x)與 的大;
(3)證明:x>0時(shí),xexlnx+ex>x3 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對某個(gè)品牌的U盤進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查,所得情況如下面頻率分布直方圖所示.
(1)圖中縱坐標(biāo)y0處刻度不清,根據(jù)圖表所提供的數(shù)據(jù)還原y0;
(2)根據(jù)圖表的數(shù)據(jù)按分層抽樣,抽取20個(gè)U盤,壽命為1030萬次之間的應(yīng)抽取幾個(gè);
(3)從(2)中抽出的壽命落在1030萬次之間的元件中任取2個(gè)元件,求事件“恰好有一個(gè)壽命為1020萬次,一個(gè)壽命為2030萬次”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列求導(dǎo)正確的是( )
A.(x+ )′=1+
B.(log2x)′=
C.(3x)′=3xlog3x
D.(x2cosx)′=﹣2xsinx
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