【題目】如圖，在直角梯形中， ， ， ，直角梯形通過直角梯形以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且使得平面平面． 為線段的中點(diǎn)， 為線段上的動點(diǎn)．

（）求證： ．

（）當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，求證：直線平面．

（）當(dāng)點(diǎn)是線段中點(diǎn)時(shí)，求直線和平面所成角的正弦值．

【答案】(1)見解析；（2）見解析；（3）直線和平面所成角的正弦值為.

【解析】試題分析：（1）建立空間坐標(biāo)系求兩直線的方向向量，根據(jù)點(diǎn)積為0可證的結(jié)論；（2）求得直線的方向向量和面的法向量，證得兩向量垂直即可；（3）求直線的方向向量和面的法向量的夾角即可.

解析：

由已知可得， ， ， 兩兩垂直，以為原點(diǎn)，

， ， 所在直線為軸， 軸， 軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>，

所以， ， ， ， ， ， ．

（）證明： ， ， ，

∴， ，

∴， ，

即， ，

∴平面．

又∵平面，

∴．

（）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則， ．

∵，∴， ， ，

解得： ， ， ，即．

設(shè)平面的一個(gè)法向量，

∵， ，

∴，即，

令，則， ，得．

又，

∴．

∴直線平面．

（）當(dāng)點(diǎn)是線段中點(diǎn)時(shí)， ，

設(shè)的一個(gè)法向量為．

∵， ，

∴，解，

令，則， ，得．

設(shè)與平面所成角為，則

．

故直線和平面所成角的正弦值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù) 滿足,且.

（1） 求解析式；

（2）當(dāng)時(shí)，,求的值域；

（3）若方程沒有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐中， 平面，底面是菱形， ， ， ． 為與的交點(diǎn)， 為棱上一點(diǎn),

（1）證明：平面⊥平面；

（2）若三棱錐的體積為，

求證： ∥平面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓E： + =1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2 ， 且橢圓E過點(diǎn)（0， ），（ ，﹣ ），點(diǎn)A是橢圓上位于第一象限的一點(diǎn)，且△AF1F2的面積S△ = ．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)B（3，0）的直線l與橢圓E相交于點(diǎn)P、Q，直線AP、AQ分別與x軸相交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)C（ ，0），證明：|CM||CN|為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形ABCD是菱形， 是邊長為2的等邊三角形， , .

Ⅰ求證： 底面ABCD；

Ⅱ求直線CP與平面BDF所成角的大��；

Ⅲ在線段PB上是否存在一點(diǎn)M，使得平面BDF？如果存在，求的值，如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)傾斜角為α的直線L： （T為參數(shù)）與曲線C： （φ為參數(shù)）相交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）若α= ，若以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，求直線AB的極坐標(biāo)方程；
（2）若直線的斜率為 ，點(diǎn)P（2， ），求|PA||PB|的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)=

(1)寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)=-m恰有3個(gè)不同零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(3)若≤n2-2bn+1對所有x∈[-1,1],b∈[-1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)n的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面， ， ， ， ， 分別為， 的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）求證：在棱上存在一點(diǎn)，使得平面平面；

（3）求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】調(diào)查表明，市民對城市的居住滿意度與該城市環(huán)境質(zhì)量、城市建設(shè)、物價(jià)與收入的滿意度有極強(qiáng)的相關(guān)性，現(xiàn)將這三項(xiàng)的滿意度指標(biāo)分別記為x、y、z，并對它們進(jìn)行量化：0表示不滿意，1表示基本滿意，2表示滿意，再用綜合指標(biāo)ω=x+y+z的值評定居民對城市的居住滿意度等級：若ω≥4，則居住滿意度為一級；若2≤ω≤3，則居住滿意度為二級；若0≤ω≤1，則居住滿意度為三級，為了解某城市居民對該城市的居住滿意度，研究人員從此城市居民中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行調(diào)查，得到如下結(jié)果：

人員編號

1

2

3

4

5

（x，y，z）

（1，1，2）

（2，1，1）

（2，2，2）

（0，1，1）

（1，2，1）

人員編號

6

7

8

9

10

（x，y，z）

（1，2，2）

（1，1，1）

（1，2，2）

（1，0，0）

（1，1，1）


（1）在這10名被調(diào)查者中任取兩人，求這兩人的居住滿意度指標(biāo)z相同的概率；
（2）從居住滿意度為一級的被調(diào)查者中隨機(jī)抽取一人，其綜合指標(biāo)為m，從居住滿意度不是一級的被調(diào)查者中任取一人，其綜合指標(biāo)為n，記隨機(jī)變量ξ=m﹣n，求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

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