Question

【題目】設(shè)是以為焦點(diǎn)的拋物線，是以直線與的漸近線，以為一個(gè)焦點(diǎn)的雙曲線.

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若與在第一象限有兩個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍，并求的最大值；

（3）是否存在正數(shù)，使得此時(shí)的重心恰好在雙曲線的漸近線上？如果存在，求出的值；如果不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）；9；（3）存在正數(shù)，

【解析】

（1）可知焦點(diǎn)坐標(biāo)在軸上，可設(shè)，再根據(jù)兩條漸近線與得出關(guān)系式，再由焦點(diǎn)是，結(jié)合即可求得雙曲線方程；

（2）由與在第一象限內(nèi)有兩個(gè)公共點(diǎn)和，聯(lián)立雙曲線和拋物線方程，可得的取值范圍；設(shè)，用坐標(biāo)表示，利用韋達(dá)定理及配方法，可得的最大值；

（3）由（2）及重心公式可得的重心，，即，，假設(shè)恰好在雙曲線的漸近線上，代入漸近線方程，即可求得結(jié)論．

（1）由題可知焦點(diǎn)為，故焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線的方程為

是以直線與為漸近線，

，，，雙曲線方程為；

（2）拋物線的焦點(diǎn)，，聯(lián)立雙曲線方程消得：，

可得，與在第一象限內(nèi)有兩個(gè)公共點(diǎn)和，，

設(shè)，則

將代入得，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，，時(shí)，的最大值為9；

（3）由（2）知的重心為，，

，，

假設(shè)恰好在雙曲線的漸近線上，代入可得，，或，，

存在正數(shù)，使得此時(shí)的重心恰好在雙曲線的漸近線上