【題目】如圖,在四面體中,平面平面, , ,

(Ⅰ)若, ,求四面體的體積;

(Ⅱ)若二面角,求異面直線所成角的余弦值.

【答案】1 2

【解析】試題分析:(1)先確定四面體的高: 設的中點,則,再由面面垂直性質定理得最后根據(jù)錐體體積公式求體積(2)先確定二面角平面角: 設為邊的中點,由(1)可得為二面角的平面角,再利用平移找線線角: 設分別為邊的中點,則根據(jù)三角形中位線性質可得,從而是異面直線所成的角或其補角.最后通過解三角形可得異面直線所成角的余弦值.

試題解析:I)如圖,設的中點,由于,所以.

故由平面,知,

是四面體的面上的高,

.

中,因為

由勾股定理易知

故四面體的體積

II)解法一:如答圖,設分別為邊的中點,則,從而是異面直線所成的角或其補角.

為邊的中點,則,

,知.又由(I)有,所以

 故.

所以為二面角的平面角,由題設知

,從而

,故,從而,在中,

從而在中,因,由余弦定理得

因此,異面直線所成角的余弦值為

解法二:如下圖,過,交,已知,

,易知兩兩垂直,以為原點,射線分別為軸, 軸, 軸的正半軸,建立空間直角坐標系

不妨設,由 ,

易知點的坐標分別為,則

顯然向量是平面的法向量.

已知二面角

故可取平面的單位法向量,

使得,從而

設點的坐標為 ,取,有

易知與坐標系的建立方式不合,舍去.

因此點的坐標為

所以

從而

故異面直線所成的角的余弦值為

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1

2

3

f(x)

2

3

1

x

1

2

3

g(x)

3

2

1


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