【題目】在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊,且(a+c)2=b2+3ac
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若b=2,且sinB+sin(C﹣A)=2sin2A,求△ABC的面積.

【答案】解:(Ⅰ) 把(a+c)2=b2+3ac整理得,a2+c2﹣b2=ac,

由余弦定理有cosB= = = ,

∵B為三角形內(nèi)角,

∴B= ;

(Ⅱ)在△ABC中,A+B+C=π,即B=π﹣(A+C),

∴sinB=sin(A+C),

由已知sinB+sin(C﹣A)=2sin2A可得:sin(A+C)+sin(C﹣A)=4sinAcosA,

∴sinAcosC+cosAsinC+sinCcosA﹣cosCsinA=4sinAcosA,

整理得:cosAsinC=2sinAcosA,

若cosA=0,則A= ,于是由b=2,可得c= = ,

此時△ABC的面積為S= bc=

若cosA≠0,則sinC=2sinA,由正弦定理可知,c=2a,

代入a2+c2﹣b2=ac整理可得:3a2=4,

解得:a= ,進(jìn)而c=

此時△ABC的面積S= acsinB= ,

∴綜上所述,△ABC的面積為


【解析】(1)把(a+c)2=b2+3ac整理得,a2+c2﹣b2=ac,根據(jù)余弦定理可得cosB的值,不難得出B的角度,(2)由三角形三內(nèi)角和為π,可得sinB=sin(A+C),由已知sinB+sin(C﹣A)=2sin2A可得:sin(A+C)+sin(C﹣A)=4sinAcosA,根據(jù)兩角和與差的正弦公式進(jìn)行整理得:cosAsinC=2sinAcosA,分類討論當(dāng)cosA=0和cosA≠0分別求得△ABC的面積.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正弦定理的定義的相關(guān)知識,掌握正弦定理:,以及對余弦定理的定義的理解,了解余弦定理:;;

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