【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上的一點A（2，4）．
（Ⅰ）是否存在直線l：y=kx+3與圓M有兩個交點B，C，并且|AB|=|AC|，若有，求此直線方程，若沒有，請說明理由；
（Ⅱ）設(shè)點T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得 = ，求實數(shù)t的取值范圍．

【答案】解：（Ⅰ）圓M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0化為（x﹣6）2+（y﹣7）2=25，圓心為M（6，7），半徑為5

假設(shè)存在直線l：y=kx+3與圓M有兩個交點B，C，并且|AB|=|AC|，

則AM⊥BC，∵kAM= ，即直線l的斜率為﹣

則直線l：y=﹣ x+3，即4x+3y﹣9=0

圓心M（6，7）到4x+3y﹣9=0的距離d=

即直線l與圓M無兩個交點，

∴不存在直線l：y=kx+3與圓M有兩個交點B，C，并且|AB|=|AC|；

（Ⅱ）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），∵A（2，4），T（t，0），

由 = 得， ，由點Q在圓M上，所以（x2﹣6）2+（y2﹣7）2=25

即得（x1﹣t﹣4）2+（y1﹣3）2=25．

從而圓（x﹣6）2+（y﹣7）2=25與圓（x﹣t﹣4）2+（y﹣3）2=25上有公共點，

即5﹣5

解得2﹣2 ≤t≤2+2 ，

∴實數(shù)t的取值范圍為[2﹣2 ，2+2 ]．


【解析】（1）假設(shè)存在直線l：y=kx+3，由題意|AB|=|AC|，則AM⊥BC，即直線l的斜率為，根據(jù)點到直線的距離即可判斷出不存在這樣的直線與圓有兩個交點，（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），由向量關(guān)系表示出Q點坐標，由于點Q在圓上，可得（x1﹣t﹣4）2+（y1﹣3）2=25，若兩圓有公共點，則兩圓心間的距離小于半徑之和，大于半徑之差，即可得到實數(shù)t的取值范圍.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，∠CBA= ，ABEF為直角梯形，BE∥AF，∠BAF= ，BE=2，AF=3，平面ABCD⊥平面ABEF．

（1）求證：AC⊥平面ABEF；
（2）求平面ABCD與平面DEF所成二面角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且（a+c）2=b2+3ac
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）若b=2，且sinB+sin（C﹣A）=2sin2A，求△ABC的面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線2x+y﹣k=0（k＞0）與圓x2+y2=4交于不同的兩點A，B，O是坐標原點，且有| | | |，那么k的取值范圍是（ ）
A.[ ，+∞）
B.[ ，2 ）
C.[ ，+∞）
D.[ ，2 ）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在如圖的平面多邊形ACBEF中，四邊形ABEF是矩形，點O為AB的中點，△ABC中，AC=BC，現(xiàn)沿著AB將△ABC折起，直至平面ABEF⊥平面ABC，如圖，此時OE⊥FC．
（1）求證：OF⊥EC；
（2）若FC與平面ABC所成角為30°，求二面角F﹣CE﹣B的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，Sn=2n﹣an（n∈N*）．
（1）計算a2 ， a3 ， a4 ， 并由此猜想通項公式an；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex ， g（x）=lnx
（1）若曲線h（x）=f（x）+ax2﹣ex（a∈R）在點（1，h（1））處的切線垂直于y軸，求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù) 在區(qū)間（0，2）上無極值，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一個不透明的袋子裝有4個完全相同的小球，球上分別標有數(shù)字為0，1，2，2，現(xiàn)甲從中摸出一個球后便放回，乙再從中摸出一個球，若摸出的球上數(shù)字大即獲勝（若數(shù)字相同則為平局），則在甲獲勝的條件下，乙摸1號球的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的半徑分別2 cm和5 cm，圓臺的母線長是12 cm，求圓錐SO的母線長．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案