【題目】(2015·四川)已知函數(shù)f(x)=2x , g(x)=x2+ax(其中aR).對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 , 設(shè)m=,n=.
現(xiàn)有如下命題:
(1)對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 , 都有m>0;
(2)對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 , ,都有n>0;
(3)對(duì)于任意的a , 存在不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 , 使得m=n;
(4)對(duì)于任意的a , 存在不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 , 使得m=-n.
其中的真命題有 (寫出所有真命題的序號(hào)).
【答案】①④
【解析】設(shè)A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2)), C(x1, g(x1)), D(x2, g(x2)), 對(duì)(1), 從y=2x的圖像可看出, m=KAB>0,恒成立, 故正確。對(duì)(2), 直線CD的斜率可為負(fù), 即n<0, 故不正確。對(duì)(3),由m=n得f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2), 即f(x1)-g(x1)=f(x2))-g(x2), 令h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax. 則h'(x)=2xln2-2x-a. 由 h'(x)=0得, 2xln2=2x+a, 做出y=2xln2, y=2x+a的圖像可知, 方程2xln2=2x+a不一定有解, 所以h(x)不一定有極值點(diǎn), 即對(duì)任意的a,不一定存在不相等的實(shí)數(shù)x1, x2,使得h(x1)=h(x2),即不一定存在不相等得實(shí)數(shù)x1, x2使得m=n,故不正確。
對(duì)(4),由m=-n得f(x1)-g(x1)=f(x2))-g(x2), 即f(x1)+g(x1)=f(x2))+g(x2), 令h(x)=f(x)+g(x)=2x+x2+ax. 則h'(x)=2xln2+2x+a.
h'(x)=0得, 2xln2=-2x-a, 做出y=2xln2, y=-2x-a的圖像可知, 方程2xln2=-2x-a一定有解, 所以h(x)一定有極值點(diǎn), 即對(duì)任意的a,一定存在不相等的實(shí)數(shù)x1, x2,使得h(x1)=h(x2),即一定存在不相等得實(shí)數(shù)x1, x2使得m=n,故不正確。
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握通過圖像,我們可以看出當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí),直線與曲線相切.容易知道,割線的斜率是,當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí),函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k,即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若不等式f(x)﹣f(x+m)≤1恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值;
(2)當(dāng)a< 時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)+|2x﹣1|有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015·新課標(biāo)1卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整數(shù)x0 , 使得f(x0)<0,則a的取值范圍是( )
A.[-,1)
B.[-,)
C.[,)
D.[,1)
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【題目】某中學(xué)舉行電腦知識(shí)競(jìng)賽,現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.
求:(1)高一參賽學(xué)生的成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù);
(2)高一參賽學(xué)生的平均成績(jī).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015·四川)如圖,橢圓E:的離心率是,點(diǎn)P(0,1)在短軸CD上, 且.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn).是否存在常數(shù)λ , 使得為定值?若存在,求λ的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015·四川)如圖,橢圓E:的離心率是,過點(diǎn)P(0,1)的動(dòng)直線l與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)直線l平行與x軸時(shí),直線l被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為2.
(1)求橢圓E的方程;
(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q,使得恒成立?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015·陜西)設(shè)fn(x)=x+x2+x...+xn-1, nN, n≥2。
(1)fn'(2)
(2)證明:fn(x)在(0,)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為an), 且0<an-<()n.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015·湖南)在一次馬拉松比賽中,35名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)(單位:分鐘)如圖I所示
若將運(yùn)動(dòng)員按成績(jī)由好到差編為1~35號(hào),再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人,則其中成績(jī)?cè)趨^(qū)間[139,151]上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為( )
A.3
B.4
C.5
D.6
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【題目】下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是( )
A.y=lnx
B.
C.y=sinx
D.y=cosx
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