【題目】四面體ABCD中,AB和CD為對棱.設AB=a,CD=b,且異面直線AB與CD間的距離為d,夾角為θ.
(Ⅰ)若θ= ,且棱AB垂直于平面BCD,求四面體ABCD的體積;
(Ⅱ)當θ= 時,證明:四面體ABCD的體積為一定值;
(Ⅲ)求四面體ABCD的體積.

【答案】證明:(Ⅰ)如圖5﹣2,由于棱AB⊥平面BCD,過B作CD邊上的高BE,
則AB⊥BE,CD⊥BE,
故BE是異面直線AB與CD的距離,即d=BE.
所以VABCD= ABSBCD= a = abd.

(Ⅱ)如圖5﹣3,過A作底面BCD的垂線,垂足為O,連結BO與CD相交于E.連結AE,
再過E作AB的垂線,垂足為F.
因為AB⊥CD,所以BO⊥CD(三垂線定理的逆定理),
所以CD⊥平面ABE,
因為EF平面ABE,
所以CD⊥EF,
又EF⊥AB.
所以EF即為異面直線AB,CD的公垂線.
所以EF=d.注意到CD⊥平面ABE.
所以VABCD= CDSABE= ABEFCD= abd為定值.
(Ⅲ)如圖5﹣4:將四面體ABCD補成一個平行六面體ABB'D'﹣A'CC'D.
由于AB,CD所成角為θ,
所以∠DCA'=θ,
又異面直線AB與CD間的距離即上、下兩底面AB',A'C'的距離,
所以VABB'D'A'CC'D= absinθ×2d=abdsinθ.
顯然VABCD= VABB'D'A'CC'D= abdsinθ
【解析】(Ⅰ)根據(jù)異面直線的距離的定義結合三棱錐的體積公式進行求解即可.(Ⅱ)找出異面直線AB,CD的公垂線,結合三棱錐的體積公式進行證明即可.(Ⅲ)根據(jù)錐體的體積公式進行求解.

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月份

7

8

9

10

11

12

銷售單價(元)

9

9.5

10

10.5

11

8

銷售量(件)

11

10

8

6

5

14

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