【題目】如圖,已知PA⊥⊙O所在的平面,AB是⊙O的直徑,AB=2,C是⊙O上一點(diǎn),且AC=BC,PC與⊙O所在的平面成45°角,E是PC中點(diǎn).F為PB中點(diǎn).
(1)求證:EF∥面ABC;
(2)求證:EF⊥面PAC;
(3)求三棱錐B﹣PAC的體積.

【答案】
(1)證明:在三角形PBC中,

∵E是PC中點(diǎn),F(xiàn)為PB中點(diǎn),

∴EF∥BC,BC面ABC,EF面ABC,

∴EF∥面ABC


(2)證明:∵PA⊥平面ABC,BC平面ABC,∴BC⊥PA.

又∵AB是⊙O的直徑,∴BC⊥AC,

∴BC⊥面PAC

∵EF∥BC,BC⊥面PAC,

∴EF⊥面PAC


(3)解:∵PA⊥⊙O所在的平面,AC是PC在面ABC內(nèi)的射影,

∴∠PCA即為PC與面ABC所成角,

∴∠PCA=45°,PA=AC,

在Rt△ABC中,E是PC中點(diǎn),

,

∴三棱錐B﹣PAC的體積


【解析】(1)在三角形PBC中,由E是PC中點(diǎn),F(xiàn)為PB中點(diǎn),知EF∥BC,由此能夠證明EF∥面ABC.(2)由PA⊥平面ABC,BC平面ABC,知BC⊥PA,再由AB是⊙O的直徑,知BC⊥AC,故BC⊥面PAC,由此能夠證明EF⊥面PAC.(3)因?yàn)镻A⊥⊙O所在的平面,AC是PC在面ABC內(nèi)的射影,所以∠PCA即為PC與面ABC所成角,故∠PCA=45°,PA=AC.由此能夠求出三棱錐B﹣PAC的體積.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí),掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行,以及對平面與平面垂直的判定的理解,了解一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直.

練習(xí)冊系列答案
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③已知M={(x,y)|y= },N={(x,y)|y=x+b},若M∩N≠,則b∈[﹣ , ];
④已知圓C:(x﹣b)2+(y﹣c)2=a2(a>0,b>0,c>0)與x軸相交,與y軸相離,則直線ax+by+c=0與直線x+y+1=0的交點(diǎn)在第二象限.
其中表述正確的是( (填上所有正確結(jié)論對應(yīng)的序號(hào))

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A.10
B.
C.
D.

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