試題分析:
(1)利用S
n與a
n之間的關(guān)系
,即可得到關(guān)于a
n+1,a
n的遞推式,證明a
n為等比數(shù)列,且可以知道公比,當n=1時,可以得到a
1與a
2之間的關(guān)系,在根據(jù)a
n等比數(shù)列,可以消掉a
2得到首項的值,進而得到通項公式.
(2)根據(jù)等差數(shù)列公差與項之間的關(guān)系(
),可以得到
,帶入a
n得到d
n的通項公式.
①假設(shè)存在,d
m,d
k,d
p成等比數(shù)列,可以得到關(guān)于他們的等比中項式子,把d
n的通項公式帶入計算可以得到
,則m,k,p既成等差數(shù)列也是等比數(shù)列,所以三者相等,與數(shù)列{d
n}中是否存在三項d
m,d
k,d
p(不相等)矛盾,所以是不存在的.
②利用(2)所得求出
的通項公式,再利用錯位相減可以求得
,利用不等式的性質(zhì)即可得到
證明原式.
試題解析:
(1)由
,
可得:
,
兩式相減:
. 2分
又
,
因為數(shù)列
是等比數(shù)列,所以
,故
.
所以
. 4分
(2)由(1)可知
,
因為:
,故:
. 6分
①假設(shè)在數(shù)列
中存在三項
(其中
成等差數(shù)列)成等比數(shù)列,
則:
,即:
,
(*) 8分
因為
成等差數(shù)列,所以
,
(*)可以化簡為
,故
,這與題設(shè)矛盾.
所以在數(shù)列
中不存在三項
(其中
成等差數(shù)列)成等比數(shù)列.10分
②令
,
,
11分
兩式相減:
13分
. 14分