設(shè)函數(shù)的圖像在處取得極值4.

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)對于函數(shù),若存在兩個不等正數(shù),當時,函數(shù)的值域是,則把區(qū)間叫函數(shù)的“正保值區(qū)間”.問函數(shù)是否存在“正保值區(qū)間”,若存在,求出所有的“正保值區(qū)間”;若不存在,請說明理由.

 

【答案】

(1)遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是;(2)不存在.

【解析】

試題分析:(1)求導,利用極值點的坐標列出方程組,解出,確定函數(shù)解析式,再求導,求單調(diào)區(qū)間;(2)先假設(shè)存在“正保值區(qū)間”,通過已知條件驗證是否符合題意,排除不符合題意得情況.

試題解析:(1),                   1分

依題意則有:,即  解得 v        3分

.令,

解得,v                     5分

所以函數(shù)的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是        6分

(2)設(shè)函數(shù)的“正保值區(qū)間”是,因為,

故極值點不在區(qū)間上;

①若極值點在區(qū)間,此時,在此區(qū)間上的最大值是4,不可能等于;故在區(qū)間上沒有極值點;                 8分

②若上單調(diào)遞增,即,

,即,解得不符合要求;       10分

③若上單調(diào)減,即1<s<t<3,則

兩式相減并除得:,     ①

兩式相除可得,即,

整理并除以得:, ②

由①、②可得,即是方程的兩根,

即存在不合要求.                   12分

綜上可得不存在滿足條件的s、t,即函數(shù)不存在“正保值區(qū)間”。    13分

考點:1.求函數(shù)的極值;2.求最值;3.求單調(diào)區(qū)間.

 

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(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào),求實數(shù)的取值范圍。

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