Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為該橢圓上任意一點(diǎn)；若該橢圓的上頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，離心率e=

1

2

，則

AP

•

FP

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)題意，設(shè)P（x，y）根據(jù)橢圓的方程，易得A₁、F₂的坐標(biāo)，將其代入

AP

•

FP

中，可得關(guān)于x、y的關(guān)系式，結(jié)合雙曲線的方程，可得

AP

•

FP

=

1

4

x2+3x+5，（-2≤x≤2），求二次函數(shù)的值域．

解答： 解：∵該橢圓的上頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，
∴a=2，
∵離心率e=

1

2

，
∴c=1，
∴b²=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1
設(shè)P（x，y），
又A（-2，0），F(xiàn)（-1，0），
∴

AP

=(2+x，y)，

FP

=(x+1，y)，

AP

•

FP

=（x+2，y）•（x+1，y）=（x+2）（x+1）+y²
=

1

4

x2+3x+5，（-2≤x≤2）
對稱軸為x=-6
當(dāng)x=-2時(shí)，取得最小值0，當(dāng)x=2時(shí)，取得最大值12，
故答案為[0，12]

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的應(yīng)用、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算等，涉及最值問題．最值問題解題的思路是先設(shè)出變量，表示出要求的表達(dá)式，結(jié)合圓錐曲線的方程，將其轉(zhuǎn)化為只含一個(gè)變量的關(guān)系式，進(jìn)而由不等式的性質(zhì)或函數(shù)的最值進(jìn)行計(jì)算．